Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=1+x^2 и прямой y-2=0.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=1+x^2 и прямой y-2=0.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y=1+x^2 и прямой y-2=0, необходимо найти точки их пересечения. Подставив y=2 в уравнение функции, получим:
2 = 1 + x^2 x^2 = 1 x = ±1
Таким образом, точки пересечения графика функции и прямой будут (1,2) и (-1,2).
Далее необходимо найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой. Это можно сделать с помощью определенного интеграла, который равен разности интегралов функций y=1+x^2 и y=2 на интервале от -1 до 1:
S = ∫[from -1 to 1] (1 + x^2 - 2) dx S = ∫[from -1 to 1] (x^2 - 1) dx S = [x^3/3 - x] [from -1 to 1] S = [(1^3/3 - 1) - ((-1)^3/3 + 1)] S = [(1/3 - 1) - (-1/3 + 1)] S = [1/3 - 1 + 1/3 - 1] S = 2/3
Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=1+x^2 и прямой y-2=0, равна 2/3.
Площадь фигуры равна 4/3.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 1 + x^2 ) и прямой ( y = 2 ), начнем с определения точек пересечения этих двух графиков.
Определение точек пересечения: Подставим ( y = 2 ) в уравнение параболы: [ 2 = 1 + x^2. ] Отсюда получаем: [ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. ] Таким образом, точки пересечения графиков — это ((-1, 2)) и ((1, 2)).
Нахождение площади: Площадь между графиками на интервале от (x = -1) до (x = 1) можно найти как интеграл разности функций (y = 2) (верхняя функция) и (y = 1 + x^2) (нижняя функция): [ \text{Площадь} = \int{-1}^{1} (2 - (1 + x^2)) \, dx = \int{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx. ]
Вычислим интеграл: [ \int (1 - x^2) \, dx = x - \frac{x^3}{3}, ] подставив пределы интегрирования: [ \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right). ] Упростим: [ 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции (y = 1 + x^2) и прямой (y = 2), равна (\frac{4}{3}) квадратных единиц.
