Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x-x^2 и осью абсцисс

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 4x - x^2 ) и осью абсцисс, необходимо определить точки пересечения графика функции с осью абсцисс и затем вычислить определённый интеграл в этих пределах.

Шаг 1: Найдите точки пересечения с осью абсцисс

Функция пересекает ось абсцисс там, где ( y = 0 ). Значит, нужно решить уравнение:

[ 4x - x^2 = 0 ]

Решив это уравнение, мы получаем:

[ x(4 - x) = 0 ]

Отсюда ( x = 0 ) или ( x = 4 ).

Шаг 2: Вычислите определенный интеграл

Теперь, когда мы знаем, что график функции пересекается с осью абсцисс в точках ( x = 0 ) и ( x = 4 ), мы можем найти площадь под кривой и над осью абсцисс между этими точками. Для этого вычислим определенный интеграл функции ( y = 4x - x^2 ) от 0 до 4:

[ \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx ]

Шаг 3: Найдите первообразную и вычислите интеграл

Первообразная функции ( 4x - x^2 ) равна:

[ \int (4x - x^2) \, dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) ]

[ = \left( 2 \times 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 ]

[ = 32 - \frac{64}{3} ]

Приведем к общему знаменателю:

[ = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 4x - x^2 ) и осью абсцисс, равна (\frac{32}{3}) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x-x^2 и осью абсцисс, необходимо вычислить определенный интеграл данной функции на заданном интервале.

График функции y=4x-x^2 представляет собой параболу, которая пересекает ось абсцисс в точках x=0 и x=4. Поэтому, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этой функцией и осью абсцисс, мы будем вычислять интеграл функции y=4x-x^2 от x=0 до x=4.

Интегрируя данную функцию, получим: ∫(4x - x^2)dx = 2x^2 - (x^3)/3 + C

Вычислим определенный интеграл на интервале от 0 до 4: S = ∫[0,4] (4x - x^2)dx = [2x^2 - (x^3)/3] [0,4] = [2*(4)^2 - ((4)^3)/3] - [2*(0)^2 - ((0)^3)/3] S = [32 - 64/3] - [0] = 32 - 64/3 = 96/3 - 64/3 = 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x-x^2 и осью абсцисс, равна 32/3 или примерно 10.67.