Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=3/х и у=4-х

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{3}{x} ) и ( y = 4 - x ), необходимо сначала определить точки пересечения этих кривых.

1. Найдем точки пересечения:

   Приравняем уравнения функций: [ \frac{3}{x} = 4 - x ]

   Умножим обе стороны уравнения на ( x ) (при ( x \neq 0 )), чтобы избавиться от дроби: [ 3 = (4 - x)x ]

   Это уравнение можно раскрыть: [ 3 = 4x - x^2 ]

   Перепишем его в стандартной форме квадратного уравнения: [ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 ]

   Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} ]

   [ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 ]

   Таким образом, точки пересечения: ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

2. Вычислим площадь фигуры:

   Площадь между кривыми можно определить как интеграл разности функций от одной точки пересечения до другой: [ A = \int_{1}^{3} \left((4 - x) - \frac{3}{x}\right) \, dx ]

   Упростим выражение под интегралом: [ A = \int_{1}^{3} \left(4 - x - \frac{3}{x}\right) \, dx ]

   Теперь вычислим интеграл: [ A = \int{1}^{3} 4 \, dx - \int{1}^{3} x \, dx - \int_{1}^{3} \frac{3}{x} \, dx ]

   Вычислим каждый из интегралов: [ \int{1}^{3} 4 \, dx = 4x \Big|{1}^{3} = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 1 = 12 - 4 = 8 ]

   [ \int{1}^{3} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|{1}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

   [ \int{1}^{3} \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln|x| \Big|{1}^{3} = 3 (\ln 3 - \ln 1) = 3 \ln 3 ]

   Подставим найденные значения в выражение для площади: [ A = 8 - 4 - 3 \ln 3 = 4 - 3 \ln 3 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми, равна ( 4 - 3 \ln 3 ).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у=3/х и у=4-х, необходимо найти точки их пересечения, которые будут являться границами данной фигуры.

Для начала найдем точку пересечения линий у=3/х и у=4-х. Для этого приравняем уравнения друг к другу:

3/х = 4-х

3 = 4x - x^2

x^2 - 4x + 3 = 0

(x-3)(x-1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x=1 и x=3.

Затем найдем значения у в этих точках:

y1 = 3/1 = 3

y3 = 3/3 = 1

Таким образом, получаем, что фигура ограничена линиями x=1, x=3, у=3/х и у=4-х. Для нахождения площади этой фигуры можно воспользоваться формулой интеграла:

S = ∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx

Где a и b - точки пересечения линий, f(x) и g(x) - уравнения линий.

S = ∫[1,3] |3/x - (4-x)| dx

S = ∫[1,3] |3/x - 4 + x| dx

После вычислений интеграла получим значение площади фигуры, ограниченной данными линиями.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения, затем провести график и найти площадь под кривыми.