Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2 -1 у=3

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 1 и y = 3, необходимо сначала найти точки их пересечения, после чего провести вертикальные линии из этих точек на ось x. Площадь фигуры будет равна разности интегралов этих функций на отрезке между точками пересечения.

Для начала найдем точки пересечения функций y = x^2 - 1 и y = 3:

x^2 - 1 = 3 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -2 и x = 2. Теперь вычислим интегралы функций на отрезке [-2, 2]:

∫(3 - (x^2 - 1))dx = ∫(4 - x^2)dx = 4x - (x^3)/3 | от -2 до 2

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

(42 - (2^3)/3) - (4(-2) - ((-2)^3)/3) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 24/3 - 8/3 = 16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 1 и y = 3, равна 16/3.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 1 ) и ( y = 3 ), нужно определить точки пересечения этих линий, а затем вычислить интеграл от разности функций в пределах этих точек пересечения.

1. Найдем точки пересечения:

   Для этого приравняем ( y = x^2 - 1 ) и ( y = 3 ):

   [ x^2 - 1 = 3 ]

   Решим уравнение:

   [ x^2 - 1 - 3 = 0 ]

   [ x^2 - 4 = 0 ]

   [ (x - 2)(x + 2) = 0 ]

   Получаем два значения ( x ):

   [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -2 ]

   Таким образом, точки пересечения линий находятся в ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Определим границы интегрирования:

   Границы интегрирования будут от ( x = -2 ) до ( x = 2 ).

3. Запишем выражение для площади:

   Площадь фигуры между двумя кривыми ( y = f(x) ) и ( y = g(x) ) вычисляется как интеграл разности этих функций:

   [ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} \left[ g(x) - f(x) \right] \, dx ]

   В нашем случае:

   [ g(x) = 3 \quad \text{и} \quad f(x) = x^2 - 1 ]

   Следовательно, площадь будет:

   [ \text{Площадь} = \int_{-2}^{2} \left[ 3 - (x^2 - 1) \right] \, dx ]

   Упростим выражение под интегралом:

   [ 3 - (x^2 - 1) = 3 - x^2 + 1 = 4 - x^2 ]

   Теперь наш интеграл принимает вид:

   [ \text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx ]

4. Вычислим интеграл:

   Разделим интеграл на два более простых:

   [ \int{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx ]

   Вычислим каждый интеграл отдельно:

   [ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \cdot (2 - (-2)) = 4 \cdot 4 = 16 ]

   Для второго интеграла используем четность функции ( x^2 ):

   [ \int{-2}^{2} x^2 \, dx = 2 \int{0}^{2} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} ]

   Теперь подставим значения:

   [ \text{Площадь} = 16 - \frac{16}{3} ]

   Приведем к общему знаменателю:

   [ 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} ]

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 1 ) и ( y = 3 ), равна ( \frac{32}{3} ) квадратных единиц.