Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= 5x-x² y= 0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=5x-x^2$ и $y=0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривой $y=5x-x^2$ с осью $x$ $где(y=0$):

   Решим уравнение $5x-x^2=0$: $x(5-x)=0$ Отсюда $x=0$ и $x=5$.

2. Определить пределы интегрирования:

   Пределы интегрирования будут от $x=0$ до $x=5$, так как это точки пересечения кривой с осью $x$.

3. Построить интеграл для нахождения площади области между кривой и осью $x$:

   Площадь между кривой и осью $x$ вычисляется как определённый интеграл функции $y=5x-x^2$ от $x=0$ до $x=5$: $\text{Площадь}={\int }_0^5(5x-x^2)dx$

4. Выполнить интегрирование:

   Найдём первообразную для функции $5x-x^2$: $\int (5x-x^2)dx=\int 5xdx-\int x^{2}dx$ $=\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C$

   Теперь подставим пределы интегрирования $0$ и $5$: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{0}^{5} ]

5. Вычислить значение интеграла в пределах от 0 до 5:

   Подставим верхний предел: $(\frac{5(5{)}^2}{2}-\frac{(5{)}^3}{3})=(\frac{5\cdot 25}{2}-\frac{125}{3})=(\frac{125}{2}-\frac{125}{3})$

   Приведём к общему знаменателю: $\frac{125}{2}=\frac{375}{6},\frac{125}{3}=\frac{250}{6}$ $(\frac{375}{6}-\frac{250}{6})=\frac{125}{6}$

   По сути, подставление нижнего предела всё равно даст ноль, так как: $(\frac{5(0{)}^2}{2}-\frac{(0{)}^3}{3})=0$

6. Получить окончательный результат:

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y=5x-x^2$ и $y=0$, равна: $\boxed{{\displaystyle \frac{125}{6}}}$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Подставим уравнения линий y=5x-x² и y=0 друг в друга и решим уравнение:

5x-x² = 0

x$5-x$ = 0

x=0 и x=5

Таким образом, точки пересечения линий находятся при x=0 и x=5. Затем нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью определенного интеграла:

S = ∫$a,b$ $f(x$ - g$x$) dx

Где f$x$ - это уравнение верхней функции $вданномслучаеy=5x-x²$, g$x$ - это уравнение нижней функции $вданномслучаеy=0$, a и b - точки пересечения линий $вданномслучае0и5$.

S = ∫$0,5$ $5x-x²-0$ dx

S = ∫$0,5$ $5x-x²$ dx

S = $5/2$x² - $1/3$x³ |$0,5$

S = $5/2$5² - $1/3$5³ - $(5/2$0² - $1/3$0³)

S = $5/2$25 - $1/3$125

S = 62.5 - 41.6667

S = 20.8333

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=5x-x² и y=0, составляет примерно 20.8333 квадратных единиц.