Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= 5x-x² y= 0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = 5x - x^2 ) и ( y = 0 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривой ( y = 5x - x^2 ) с осью ( x ) (где ( y = 0 )):

   Решим уравнение ( 5x - x^2 = 0 ): [ x(5 - x) = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) и ( x = 5 ).

2. Определить пределы интегрирования:

   Пределы интегрирования будут от ( x = 0 ) до ( x = 5 ), так как это точки пересечения кривой с осью ( x ).

3. Построить интеграл для нахождения площади области между кривой и осью ( x ):

   Площадь между кривой и осью ( x ) вычисляется как определённый интеграл функции ( y = 5x - x^2 ) от ( x = 0 ) до ( x = 5 ): [ \text{Площадь} = \int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx ]

4. Выполнить интегрирование:

   Найдём первообразную для функции ( 5x - x^2 ): [ \int (5x - x^2) \, dx = \int 5x \, dx - \int x^2 \, dx ] [ = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C ]

   Теперь подставим пределы интегрирования ( 0 ) и ( 5 ): [ \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} ]

5. Вычислить значение интеграла в пределах от 0 до 5:

   Подставим верхний предел: [ \left( \frac{5(5)^2}{2} - \frac{(5)^3}{3} \right) = \left( \frac{5 \cdot 25}{2} - \frac{125}{3} \right) = \left( \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \right) ]

   Приведём к общему знаменателю: [ \frac{125}{2} = \frac{375}{6}, \quad \frac{125}{3} = \frac{250}{6} ] [ \left( \frac{375}{6} - \frac{250}{6} \right) = \frac{125}{6} ]

   По сути, подставление нижнего предела всё равно даст ноль, так как: [ \left( \frac{5(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right) = 0 ]

6. Получить окончательный результат:

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 5x - x^2 ) и ( y = 0 ), равна: [ \boxed{\frac{125}{6}} ]

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Подставим уравнения линий y=5x-x² и y=0 друг в друга и решим уравнение:

5x-x² = 0

x(5-x) = 0

x=0 и x=5

Таким образом, точки пересечения линий находятся при x=0 и x=5. Затем нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью определенного интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) - это уравнение верхней функции (в данном случае y=5x-x²), g(x) - это уравнение нижней функции (в данном случае y=0), a и b - точки пересечения линий (в данном случае 0 и 5).

S = ∫[0,5] (5x-x² - 0) dx

S = ∫[0,5] (5x-x²) dx

S = (5/2)x² - (1/3)x³ |[0,5]

S = (5/2)5² - (1/3)5³ - ((5/2)0² - (1/3)0³)

S = (5/2)25 - (1/3)125

S = 62.5 - 41.6667

S = 20.8333

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=5x-x² и y=0, составляет примерно 20.8333 квадратных единиц.