Найдите производную функции f(x)=e^sqrt(sinx)

Чтобы найти производную функции ( f(x) = e^{\sqrt{\sin x}} ), мы применим несколько правил дифференцирования: правило цепочки, производную показательной функции и производную сложной функции.

1. Обозначим внутренние функции:

   Пусть ( u(x) = \sqrt{\sin x} ). Тогда функция ( f(x) ) переписывается как ( f(x) = e^{u(x)} ).

2. Найдем производную внешней функции ( e^{u(x)} ):

   Производная показательной функции ( e^u ) по ( u ) равна ( e^u ). Поэтому производная ( f(x) ) по ( u(x) ) будет ( e^{u(x)} ).

3. Теперь найдем производную внутренней функции ( u(x) = \sqrt{\sin x} ):

   Представим ( u(x) ) как ( (\sin x)^{1/2} ). Для этой функции применим правило цепочки:

   [ \frac{d}{dx} (\sin x)^{1/2} = \frac{1}{2} (\sin x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) ]

   Производная ( \sin x ) по ( x ) равна ( \cos x ), поэтому:

   [ \frac{d}{dx} (\sin x)^{1/2} = \frac{1}{2} (\sin x)^{-1/2} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} ]

4. Применим правило цепочки для нахождения производной ( f(x) ):

   Производная ( f(x) ) по ( x ) будет произведением производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции по ( x ):

   [ f'(x) = \frac{d}{du} (e^u) \cdot \frac{d}{dx} (u(x)) = e^{\sqrt{\sin x}} \cdot \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = e^{\sqrt{\sin x}} ) равна:

[ f'(x) = \frac{e^{\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x}{2\sqrt{\sin x}} ]

Это выражение описывает скорость изменения функции ( f(x) ) в зависимости от изменения переменной ( x ).

Для нахождения производной функции f(x) = e^(sqrt(sinx)) необходимо применить цепное правило дифференцирования.

Сначала найдем производную внутренней функции: f'(x) = e^(sqrt(sinx)) (1/2 sinx^(-1/2) * cosx)

Затем найдем производную внешней функции, подставив найденное значение: f'(x) = e^(sqrt(sinx)) (1/2 sinx^(-1/2) cosx) e^(sqrt(sinx))

Таким образом, производная функции f(x) = e^(sqrt(sinx) равна: f'(x) = e^(sqrt(sinx)) (1/2 sinx^(-1/2) cosx) e^(sqrt(sinx)) f'(x) = 1/2 sinx^(-1/2) cosx e^(2 sqrt(sinx))