Найдите производную функции : f(x)=корень (1-х^2)

Для нахождения производной функции ( f(x) = \sqrt{1 - x^2} ) используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала представим функцию в виде ( f(x) = (1 - x^2)^{1/2} ). Затем найдем производную этой функции:

[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) ] [ f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \sqrt{1 - x^2} ) равна ( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} ).

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \sqrt{1 - x^2} ), применим правило дифференцирования сложных функций и правило дифференцирования коренной функции.

1. Представим функцию в более удобной форме: [ f(x) = (1 - x^2)^{1/2} ]

2. Применим цепное правило: По цепному правилу, если у нас есть сложная функция ( g(h(x)) ), то её производная будет: [ (g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) ] В нашем случае ( g(u) = u^{1/2} ) и ( h(x) = 1 - x^2 ).

3. Найдем производную внешней функции ( g(u) = u^{1/2} ): [ g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{u}} ]

4. Найдем производную внутренней функции ( h(x) = 1 - x^2 ): [ h'(x) = -2x ]

5. Применим цепное правило: [ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) ]

6. Упростим выражение: [ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (-2x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \sqrt{1 - x^2} ) равна: [ f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} ]

Этот результат показывает, как изменяется функция ( \sqrt{1 - x^2} ) в зависимости от изменения переменной ( x ).