Найдите производную функции в точке х0 а) у = 3х^2, х0 = 1 б) у = cos x , x0 = p/6 в) y = -2 sin x ,...

а) Для функции у = 3x^2 производная в точке х0 = 1 будет равна 6.

б) Для функции у = cos(x) производная в точке х0 = π/6 будет равна -sin(π/6) = -1/2.

в) Для функции у = -2sin(x) производная в точке х0 = π/4 будет равна -2cos(π/4) = -2/√2 = -√2.

Чтобы найти производную функции в точке ( x_0 ), воспользуемся основными правилами дифференцирования. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

а) ( y = 3x^2 ), ( x_0 = 1 )

Для начала найдем общую производную функции ( y = 3x^2 ). Используем правило дифференцирования степенных функций:

[ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} ]

В нашем случае ( n = 2 ), а коэффициент перед ( x^2 ) равен 3. Следовательно, производная будет:

[ \frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x ]

Теперь найдем значение этой производной в точке ( x_0 = 1 ):

[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 6 \cdot 1 = 6 ]

Таким образом, производная функции ( y = 3x^2 ) в точке ( x_0 = 1 ) равна 6.

б) ( y = \cos x ), ( x_0 = \frac{\pi}{6} )

Производная функции ( y = \cos x ) известна и равна:

[ \frac{dy}{dx} = -\sin x ]

Теперь найдем значение этой производной в точке ( x_0 = \frac{\pi}{6} ):

[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{6}} = -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) ]

Значение синуса для угла ( \frac{\pi}{6} ) равно ( \frac{1}{2} ):

[ -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2} ]

Таким образом, производная функции ( y = \cos x ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{6} ) равна ( -\frac{1}{2} ).

в) ( y = -2 \sin x ), ( x_0 = \frac{\pi}{4} )

Производная функции ( y = -2 \sin x ) находится с учетом линейности производной и правила дифференцирования функции ( \sin x ):

[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x ]

Следовательно, производная будет:

[ \frac{dy}{dx} = -2 \cos x ]

Теперь найдем значение этой производной в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ):

[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = -2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) ]

Значение косинуса для угла ( \frac{\pi}{4} ) равно ( \frac{\sqrt{2}}{2} ):

[ -2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} ]

Таким образом, производная функции ( y = -2 \sin x ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ) равна ( -\sqrt{2} ).

Итак, мы нашли производные для всех трех функций в заданных точках: а) ( y = 3x^2 ) при ( x_0 = 1 ): ( \frac{dy}{dx} = 6 ) б) ( y = \cos x ) при ( x_0 = \frac{\pi}{6} ): ( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} ) в) ( y = -2 \sin x ) при ( x_0 = \frac{\pi}{4} ): ( \frac{dy}{dx} = -\sqrt{2} )

а) y' = 6x, y'(1) = 6 б) y' = -sin(x), y'(π/6) = -1/2 в) y' = -2cos(x), y'(π/4) = -√2