Найдите производную функции y=4x³

Для нахождения производной функции ( y = 4x^3 ) воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции.

Правило для нахождения производной функции вида ( y = ax^n ) гласит, что производная равна:

[ y' = n \cdot a \cdot x^{n-1} ]

где:

• ( a ) — коэффициент перед ( x^n ),
• ( n ) — степень, в которую возводится ( x ).

В нашем случае:

• ( a = 4 ),
• ( n = 3 ).

Теперь подставим эти значения в формулу:

[ y' = 3 \cdot 4 \cdot x^{3-1} ]

Это упрощается до:

[ y' = 12x^2 ]

Таким образом, производная функции ( y = 4x^3 ) равна:

[ y' = 12x^2 ]

Эта производная показывает, как быстро изменяется значение функции ( y ) по мере изменения ( x ). В частности, значение производной в определенной точке ( x ) указывает на наклон касательной к графику функции в этой точке. Например, если ( x = 1 ), то производная будет ( y' = 12 \cdot 1^2 = 12 ), что означает, что в точке ( x = 1 ) касательная к графику функции имеет наклон 12.

Чтобы найти производную функции ( y = 4x^3 ), нужно использовать правило дифференцирования степенной функции. Это правило гласит, что производная ( x^n ) (где ( n ) — число) равна ( n \cdot x^{n-1} ). Также учитывается коэффициент перед степенью.

Пошаговое решение:

1. Дана функция:
   [ y = 4x^3 ]

2. Применяем правило дифференцирования для степенной функции:
   Если ( y = C \cdot x^n ), где ( C ) — это константа, то ( y' = C \cdot n \cdot x^{n-1} ).

3. В данном случае ( C = 4 ), ( n = 3 ). Подставляем значения в формулу:
   [ y' = 4 \cdot 3 \cdot x^{3-1} ]

4. Упрощаем выражение:
   [ y' = 12x^2 ]

Ответ:

Производная функции ( y = 4x^3 ) равна:
[ y' = 12x^2 ]

Это означает, что скорость изменения функции ( y ) в любой точке ( x ) пропорциональна ( 12x^2 ).