Найдите производную y= (корень из x) * cos x

Для нахождения производной функции ( y = \sqrt{x} \cdot \cos x ), можно использовать правило дифференцирования произведения. Правило гласит, что производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции. Обозначим ( f(x) = \sqrt{x} ) и ( g(x) = \cos x ).

1. Найдём производную ( f(x) = \sqrt{x} ). Производная квадратного корня из ( x ) равна: [ f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. ]

2. Производная ( g(x) = \cos x ) равна: [ g'(x) = \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x. ]

3. Теперь применим правило произведения: [ y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). ] Подставляя найденные производные, получаем: [ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cos x + \sqrt{x} (-\sin x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x. ]

Таким образом, производная функции ( y = \sqrt{x} \cdot cos x ) равна: [ y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x. ]

Для нахождения производной функции y = √x * cos(x) нужно воспользоваться правилом производной произведения двух функций.

Сначала найдем производную первого множителя √x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, где (u) = √x, а (v) = x. Тогда производная первого множителя будет равна u' = (1 / 2√x).

Теперь найдем производную второго множителя cos(x), которая равна -sin(x).

Подставляем найденные производные обратно в формулу производной произведения функций:

y' = u'v + uv'

y' = (1 / 2√x) cos(x) + √x (-sin(x))

y' = cos(x) / 2√x - √x * sin(x)

Таким образом, производная функции y = √x cos(x) равна cos(x) / 2√x - √x sin(x).