Найдите промежутки возрастания функции y=-x^3+x^2+8x

Чтобы найти промежутки возрастания функции ( y = -x^3 + x^2 + 8x ), необходимо сначала найти её производную и определить, где эта производная больше нуля.

1. Найдем производную функции:

   [ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + 8x) = -3x^2 + 2x + 8 ]

2. Решим неравенство ( y' > 0 ):

   Для этого сначала найдем корни производной, решив уравнение ( -3x^2 + 2x + 8 = 0 ). Используем формулу дискриминанта:

   [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 8 = 4 + 96 = 100 ]

   Теперь найдем корни:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot -3} = \frac{-2 \pm 10}{-6} ]

   Это дает:

   [ x_1 = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-12}{-6} = 2 ]

   Таким образом, корни производной: ( x_1 = -\frac{4}{3} ) и ( x_2 = 2 ).

3. Анализируем знаки производной на интервалах:

   Теперь разделим числовую прямую на интервалы по найденным корням: ( (-\infty, -\frac{4}{3}) ), ( (-\frac{4}{3}, 2) ) и ( (2, +\infty) ).

   Проверим знак производной в каждом из этих интервалов:

   • Интервал ( (-\infty, -\frac{4}{3}) ): Выберем точку ( x = -2 ): [ y'(-2) = -3(-2)^2 + 2(-2) + 8 = -3 \cdot 4 - 4 + 8 = -12 - 4 + 8 = -8 \quad (\text{отрицательно}) ]

   • Интервал ( (-\frac{4}{3}, 2) ): Выберем точку ( x = 0 ): [ y'(0) = -3(0)^2 + 2(0) + 8 = 8 \quad (\text{положительно}) ]

   • Интервал ( (2, +\infty) ): Выберем точку ( x = 3 ): [ y'(3) = -3(3)^2 + 2(3) + 8 = -27 + 6 + 8 = -13 \quad (\text{отрицательно}) ]

4. Определяем промежутки возрастания:

   Из анализа знаков видно, что производная положительна на интервале ( (-\frac{4}{3}, 2) ). Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

5. Ответ:

   Функция ( y = -x^3 + x^2 + 8x ) возрастает на промежутке ( (-\frac{4}{3}, 2) ).

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции ( y = -x^3 + x^2 + 8x ), необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Найти производную функции

Функция возрастает на тех промежутках, где её производная положительна (( y' > 0 )). Поэтому начнём с нахождения производной функции ( y ).

Функция:
[ y = -x^3 + x^2 + 8x ]

Найдем производную ( y' ) по правилу дифференцирования:

[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(8x) = -3x^2 + 2x + 8 ]

Итак, производная функции: [ y' = -3x^2 + 2x + 8 ]

Шаг 2. Найти критические точки

Критические точки — это точки, где производная равна нулю (( y' = 0 )) или не существует. Здесь ( y' = -3x^2 + 2x + 8 ) — это многочлен, который существует всюду, поэтому достаточно решить уравнение ( y' = 0 ):

[ -3x^2 + 2x + 8 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся формулой дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ] где ( a = -3 ), ( b = 2 ), ( c = 8 ). Подставим значения:

[ D = 2^2 - 4(-3)(8) = 4 + 96 = 100 ]

Так как дискриминант положителен (( D > 0 )), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения ( a = -3 ), ( b = 2 ), ( D = 100 ):

[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(-3)} = \frac{-2 \pm 10}{-6} ]

Вычислим оба корня: [ x_1 = \frac{-2 + 10}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 10}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2 ]

Итак, критические точки функции: ( x_1 = -\frac{4}{3} ) и ( x_2 = 2 ).

Шаг 3. Определить знаки производной на промежутках

Критические точки разбивают числовую ось на три промежутка:

1. ( (-\infty, -\frac{4}{3}) )
2. ( (-\frac{4}{3}, 2) )
3. ( (2, +\infty) )

На каждом из этих промежутков определим знак производной ( y' = -3x^2 + 2x + 8 ). Для этого подставим любые тестовые точки из каждого промежутка в производную.

Промежуток 1: ( (-\infty, -\frac{4}{3}) )

Выберем точку ( x = -2 ) (она лежит в этом промежутке). Подставим ( x = -2 ) в ( y' ): [ y' = -3(-2)^2 + 2(-2) + 8 = -3(4) - 4 + 8 = -12 - 4 + 8 = -8 ] ( y' < 0 ) на этом промежутке, значит, функция убывает.

Промежуток 2: ( (-\frac{4}{3}, 2) )

Выберем точку ( x = 0 ) (она лежит в этом промежутке). Подставим ( x = 0 ) в ( y' ): [ y' = -3(0)^2 + 2(0) + 8 = 8 ] ( y' > 0 ) на этом промежутке, значит, функция возрастает.

Промежуток 3: ( (2, +\infty) )

Выберем точку ( x = 3 ) (она лежит в этом промежутке). Подставим ( x = 3 ) в ( y' ): [ y' = -3(3)^2 + 2(3) + 8 = -3(9) + 6 + 8 = -27 + 6 + 8 = -13 ] ( y' < 0 ) на этом промежутке, значит, функция убывает.

Шаг 4. Записать промежутки возрастания

Функция возрастает там, где ( y' > 0 ). Мы выяснили, что ( y' > 0 ) на промежутке ( (-\frac{4}{3}, 2) ).

Ответ:

Функция ( y = -x^3 + x^2 + 8x ) возрастает на промежутке ( \boxed{(-\frac{4}{3}, 2)} ).