Найдите скалярное произведение векторов a и b если 1)a(2,-1,4),b(3,2,-1) 2)|а|=3,|b|=4,cos(a,b)=1/6

Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно найти двумя основными способами: через координаты векторов и через их длины и угол между ними. Давайте рассмотрим оба случая.

1. Скалярное произведение через координаты векторов

Если векторы заданы координатами, то их скалярное произведение вычисляется по формуле: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ]

Для векторов ( \mathbf{a} = (2, -1, 4) ) и ( \mathbf{b} = (3, 2, -1) ): [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 - 2 - 4 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно 0.

2. Скалярное произведение через длины векторов и угол между ними

Если известны длины векторов и косинус угла между ними, то скалярное произведение вычисляется по формуле: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) ]

Где ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) соответственно, а ( \cos(\theta) ) — косинус угла между ними.

Для векторов с длинами ( |\mathbf{a}| = 3 ) и ( |\mathbf{b}| = 4 ), и ( \cos(\theta) = \frac{1}{6} ): [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 \cdot \frac{1}{6} ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно 2.

Итоги

1. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} = (2, -1, 4) ) и ( \mathbf{b} = (3, 2, -1) ) равно 0.
2. Скалярное произведение векторов с длинами ( |\mathbf{a}| = 3 ), ( |\mathbf{b}| = 4 ) и углом между ними, для которого ( \cos(\theta) = \frac{1}{6} ), равно 2.

Эти два метода позволяют вычислить скалярное произведение векторов в зависимости от имеющихся данных.

Для нахождения скалярного произведения векторов a и b используем формулу: ab = |a| |b| * cos(α), где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а cos(α) - косинус угла между векторами a и b.

1) Для векторов a(2, -1, 4) и b(3, 2, -1): |a| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 4^2) = sqrt(4 + 1 + 16) = sqrt(21) |b| = sqrt(3^2 + 2^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 4 + 1) = sqrt(14)

cos(α) = (a b) / (|a| |b|) = (23 + (-1)2 + 4(-1)) / (sqrt(21) sqrt(14)) = (6 - 2 - 4) / (sqrt(21) sqrt(14)) = 0 / (sqrt(21) sqrt(14)) = 0

Следовательно, скалярное произведение векторов a и b равно 0.

2) Для векторов с длинами |a| = 3 и |b| = 4, а также cos(α) = 1/6: a b = |a| |b| cos(α) = 3 4 * 1/6 = 12/6 = 2

Следовательно, скалярное произведение векторов a и b равно 2.