Найдите сумму первых 30 членов арифметической прогрессии , если A3=8, А5=20

Для нахождения суммы первых 30 членов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

Sn = n/2 * (a1 + an),

где Sn - сумма n членов, a1 - первый член, an - n-ый член.

Зная, что A3 = 8 и A5 = 20, мы можем найти первый член (a1) и разность прогрессии (d).

A3 = a1 + 2d = 8, A5 = a1 + 4d = 20.

Решая данную систему уравнений, мы найдем a1 = 2 и d = 3.

Теперь мы можем найти 30-ый член прогрессии:

A30 = a1 + 29d = 2 + 29 * 3 = 89.

И, наконец, подставив все значения в формулу для суммы, получим:

S30 = 30/2 (2 + 89) = 15 91 = 1365.

Таким образом, сумма первых 30 членов арифметической прогрессии равна 1365.

Для решения этой задачи нужно использовать формулу суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии, а также свойства арифметической прогрессии.

Шаг 1: Определяем разность прогрессии

Арифметическая прогрессия определяется первым членом (( a_1 )) и разностью (( d )). Известно, что: [ A_3 = a_1 + 2d = 8 ] [ A_5 = a_1 + 4d = 20 ]

Из этих двух уравнений мы можем найти ( d ). Вычтем первое уравнение из второго: [ (a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 20 - 8 ] [ 2d = 12 ] [ d = 6 ]

Шаг 2: Определяем первый член прогрессии

Теперь, зная ( d ), можно найти ( a_1 ). Подставим ( d = 6 ) в одно из уравнений: [ a_1 + 2 \times 6 = 8 ] [ a_1 + 12 = 8 ] [ a_1 = 8 - 12 ] [ a_1 = -4 ]

Шаг 3: Находим сумму первых 30 членов

Формула суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии: [ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n-1)d) ]

Подставим известные значения в формулу:

• ( n = 30 )
• ( a_1 = -4 )
• ( d = 6 )

[ S{30} = \frac{30}{2} \times (2 \times (-4) + (30-1) \times 6) ] [ S{30} = 15 \times (-8 + 29 \times 6) ] [ S{30} = 15 \times (-8 + 174) ] [ S{30} = 15 \times 166 ] [ S_{30} = 2490 ]

Таким образом, сумма первых 30 членов арифметической прогрессии равна 2490.