Найдите точки экстремума заданной функции y=2x^2-7x+1 и определите их характер. Нужно полное решение!

Для того чтобы найти точки экстремума функции ( y = 2x^2 - 7x + 1 ) и определить их характер, следуем следующему алгоритму:

1. Найдём первую производную функции: Для нахождения точек экстремума нужно найти точки, в которых первая производная функции равна нулю. Вычисляем первую производную функции ( y ): [ y' = \frac{d}{dx} (2x^2 - 7x + 1) = 4x - 7. ]

2. Найдём критические точки: Решаем уравнение ( y' = 0 ), чтобы найти значения ( x ), при которых производная равна нулю: [ 4x - 7 = 0. ] Решаем это уравнение: [ 4x = 7, ] [ x = \frac{7}{4}. ]

3. Найдём значение функции в критической точке: Подставляем найденное значение ( x ) в исходную функцию ( y ): [ y\left(\frac{7}{4}\right) = 2\left(\frac{7}{4}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{4}\right) + 1. ] Вычисляем значение: [ y\left(\frac{7}{4}\right) = 2 \cdot \frac{49}{16} - 7 \cdot \frac{7}{4} + 1 = \frac{98}{16} - \frac{49}{4} + 1 = \frac{98}{16} - \frac{196}{16} + 1 = \frac{98 - 196 + 16}{16} = \frac{-82}{16} = -\frac{41}{8}. ]

4. Найдём вторую производную функции: Чтобы определить характер найденной критической точки, вычисляем вторую производную функции ( y ): [ y'' = \frac{d}{dx} (4x - 7) = 4. ]

5. Определим характер критической точки: Если вторая производная положительна в критической точке, то это минимум; если отрицательна, то максимум. Поскольку ( y'' = 4 ) и это положительное значение, то точка ( x = \frac{7}{4} ) является точкой минимума.

Таким образом, функция ( y = 2x^2 - 7x + 1 ) имеет единственную точку экстремума, которая является точкой минимума. Эта точка имеет координаты ( \left( \frac{7}{4}, -\frac{41}{8} \right) ).

Для нахождения точек экстремума функции y=2x^2-7x+1 необходимо найти производную этой функции и приравнять её к нулю.

y' = 4x - 7

Теперь приравниваем производную к нулю и находим точку экстремума:

4x - 7 = 0 4x = 7 x = 7/4

Теперь найдем вторую производную для определения характера точки экстремума:

y'' = 4

Так как вторая производная положительна, то точка x=7/4 является точкой минимума функции y=2x^2-7x+1.

Итак, точка экстремума функции y=2x^2-7x+1 - это точка минимума с координатами (7/4, -27/8).