Найдите точку максимума функции y=(x-5)^2*e^-2-x

Для нахождения точки максимума функции ( y = (x-5)^2 \cdot e^{-2x} ), нужно сначала найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы определить критические точки. Затем проверить, какие из этих точек соответствуют максимуму.

1. Найдем производную функции ( y = (x-5)^2 \cdot e^{-2x} ) по правилу произведения: [ y' = ((x-5)^2)' \cdot e^{-2x} + (x-5)^2 \cdot (e^{-2x})'. ]

2. Дифференцируем каждый из множителей:

   • ((x-5)^2' = 2(x-5),)
   • ((e^{-2x})' = -2e^{-2x}.)

   Подставим полученные выражения: [ y' = 2(x-5) \cdot e^{-2x} + (x-5)^2 \cdot (-2e^{-2x}). ] [ y' = 2(x-5)e^{-2x} - 2(x-5)^2e^{-2x}. ] [ y' = 2e^{-2x}((x-5) - (x-5)^2). ]

3. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 2e^{-2x}((x-5) - (x-5)^2) = 0. ]

   Поскольку ( 2e^{-2x} ) не равно нулю ни при каких ( x ), то: [ (x-5) - (x-5)^2 = 0. ] [ (x-5)(1 - (x-5)) = 0. ] [ (x-5)(6-x) = 0. ]

   Отсюда ( x-5 = 0 ) или ( 6-x = 0 ). Таким образом, ( x = 5 ) или ( x = 6 ).

4. Определим, являются ли эти точки максимумами. Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах между критическими точками:

   • При ( x < 5 ), ( (x-5) ) и ( (6-x) ) оба отрицательны, производная положительна.
   • При ( 5 < x < 6 ), ( (x-5) ) положительно, а ( (6-x) ) отрицательно, производная отрицательна.
   • При ( x > 6 ), оба множителя ( (x-5) ) и ( (6-x) ) отрицательны, производная положительна.

Из анализа производной видно, что в точке ( x = 5 ) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума функции. Точка ( x = 6 ), наоборот, является точкой минимума, так как производная меняет знак с "-" на "+".

Таким образом, точка максимума функции ( y = (x-5)^2 \cdot e^{-2x} ) находится в точке ( x = 5 ).

Для нахождения точки максимума функции y=(x-5)^2*e^(-2x) необходимо найти производную данной функции и приравнять ее к нулю.

y'(x) = 2(x-5)e^(-2x) - 2(x-5)^2e^(-2x) y'(x) = 2e^(-2x)(x-5 - 2(x-5)) y'(x) = 2e^(-2x)(x-5 - 2x + 10) y'(x) = 2e^(-2x)(-x + 5 + 10) y'(x) = 2e^(-2x)(-x + 15) y'(x) = 2e^(-2x)(15 - x)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку максимума:

2e^(-2x)(15 - x) = 0 15 - x = 0 x = 15

Таким образом, точка максимума функции y=(x-5)^2*e^(-2x) будет x=15. Для нахождения значения y в этой точке подставим x=15 в исходную функцию:

y(15) = (15-5)^2 e^(-215) y(15) = 10^2 e^(-30) y(15) = 100 e^(-30)

Таким образом, точка максимума функции y=(x-5)^2e^(-2x) будет x=15, y=100 e^(-30).