Найдите точку максимума функции y= (x^2-3x-3)*e^3-x помогите пожалуйста

Чтобы найти точку максимума функции ( y = (x^2 - 3x - 3)e^{3-x} ), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение первой и второй производных и анализ критических точек. Давайте рассмотрим этот процесс подробно.

Шаг 1: Найти первую производную функции

Функция ( y ) является произведением двух функций: ( u(x) = x^2 - 3x - 3 ) и ( v(x) = e^{3-x} ). Применим правило произведения для нахождения первой производной ( y' ):

[ y' = u'v + uv' ]

Где:

• ( u' ) — это производная ( u ) по ( x )
• ( v' ) — это производная ( v ) по ( x )

Найдём производные ( u' ) и ( v' ):

[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x - 3) = 2x - 3 ] [ v' = \frac{d}{dx}(e^{3-x}) = -e^{3-x} ]

Теперь подставим эти производные в правило произведения:

[ y' = (2x - 3)e^{3-x} + (x^2 - 3x - 3)(-e^{3-x}) ]

Объединим и упростим выражение:

[ y' = (2x - 3)e^{3-x} - (x^2 - 3x - 3)e^{3-x} ] [ y' = e^{3-x}[(2x - 3) - (x^2 - 3x - 3)] ] [ y' = e^{3-x}[2x - 3 - x^2 + 3x + 3] ] [ y' = e^{3-x}[-x^2 + 5x] ] [ y' = e^{3-x}x(-x + 5) ]

Шаг 2: Найти критические точки

Для нахождения критических точек, приравняем первую производную к нулю:

[ e^{3-x}x(-x + 5) = 0 ]

Рассмотрим каждую часть уравнения отдельно:

1. ( e^{3-x} \neq 0 ), так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю.
2. ( x = 0 )
3. ( -x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5 )

Таким образом, критические точки — это ( x = 0 ) и ( x = 5 ).

Шаг 3: Найти вторую производную функции

Для определения характера критических точек (максимум или минимум), найдём вторую производную ( y'' ):

Используем правило произведения и правило цепочки для нахождения второй производной ( y ):

[ y' = e^{3-x}x(-x + 5) ] Применим правило произведения и производную произведения:

[ \frac{d}{dx}(e^{3-x}) = -e^{3-x} ] [ \frac{d}{dx}[x(-x + 5)] = -2x + 5 ]

Теперь применим правило произведения:

[ y'' = \frac{d}{dx}[e^{3-x} \cdot x(-x + 5)] ] [ y'' = (e^{3-x})' \cdot x(-x + 5) + e^{3-x} \cdot (x(-x + 5))' ] [ y'' = -e^{3-x} \cdot x(-x + 5) + e^{3-x} \cdot (-2x + 5) ]

Подставим значения ( x = 0 ) и ( x = 5 ):

Для ( x = 0 ):

[ y''|{x=0} = -e^{3-0} \cdot 0(0 - 5) + e^{3-0} \cdot (-2 \cdot 0 + 5) ] [ y''|{x=0} = 0 + 5e^3 > 0 ]

Для ( x = 5 ):

[ y''|{x=5} = -e^{3-5} \cdot 5(-5 + 5) + e^{3-5} \cdot (-2 \cdot 5 + 5) ] [ y''|{x=5} = -e^{-2} \cdot 5 \cdot 0 + e^{-2} \cdot (-10 + 5) ] [ y''|_{x=5} = e^{-2} \cdot (-5) < 0 ]

Шаг 4: Заключение

Так как вторая производная положительна для ( x = 0 ), это точка минимума. А вторая производная отрицательна для ( x = 5 ), это точка максимума.

Таким образом, точка максимума функции ( y = (x^2 - 3x - 3)e^{3-x} ) находится в ( x = 5 ).

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти её производную и приравнять её к нулю. Затем решить уравнение и подставить полученное значение обратно в исходную функцию.

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции y= (x^2-3x-3)*e^(3-x). Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций: (uv)' = u'v + uv'.

Получаем: y' = [(2x-3) * e^(3-x)] + [(x^2-3x-3) * (-e^(3-x))] = (2x-3)e^(3-x) + (-x^2+3x+3)e^(3-x) = (2x-3-x^2+3x+3)e^(3-x) = (-x^2+5x)e^(3-x).

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку, в которой функция имеет максимум: (-x^2+5x)e^(3-x) = 0 -x^2+5x = 0 x(5-x) = 0 x = 0 или x = 5.

Исследуем окрестности найденных точек на максимум функции, используя вторую производную: y'' = (-2x + 5)e^(3-x) + (-x^2+5x)(-e^(3-x)) = (5-2x-x^2)e^(3-x).

Для x = 0: y''(0) = (5-2*0-0^2)e^(3-0) = 5e^3 > 0, следовательно, в точке x = 0 функция имеет локальный минимум.

Для x = 5: y''(5) = (5-2*5-5^2)e^(3-5) = (-25)e^(-2) < 0, следовательно, в точке x = 5 функция имеет локальный максимум.

Таким образом, точка максимума функции y= (x^2-3x-3)*e^(3-x) равна x = 5.