Найдите точку максимума функции y=-(x^2+36)/ x и если можно то подробно и с объяснением!

Для нахождения точки максимума функции ( y = -\frac{x^2 + 36}{x} ), сначала упростим выражение: [ y = -\frac{x^2 + 36}{x} = -x - \frac{36}{x}. ]

Далее найдем производную функции ( y ) по ( x ) для определения критических точек, где функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).

Производная сложной функции ( y = -x - \frac{36}{x} ) находится по правилам дифференцирования: [ y' = -1 + 36x^{-2}. ]

Преобразуем ( 36x^{-2} ) в ( \frac{36}{x^2} ), чтобы упростить вычисления: [ y' = -1 + \frac{36}{x^2}. ]

Затем найдем критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ): [ -1 + \frac{36}{x^2} = 0. ] [ \frac{36}{x^2} = 1. ] [ 36 = x^2. ] [ x = \pm 6. ]

Теперь у нас есть две критические точки: ( x = 6 ) и ( x = -6 ). Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума, используем вторую производную ( y'' ).

Вторая производная: [ y'' = \frac{d}{dx}\left(-1 + \frac{36}{x^2}\right) = 0 - 72x^{-3}. ] [ y'' = -\frac{72}{x^3}. ]

Подставим ( x = 6 ) и ( x = -6 ) во вторую производную: [ y''(6) = -\frac{72}{6^3} = -\frac{72}{216} = -\frac{1}{3} < 0, ] [ y''(-6) = -\frac{72}{(-6)^3} = -\frac{72}{-216} = \frac{1}{3} > 0. ]

Так как ( y''(6) < 0 ), точка ( x = 6 ) является точкой локального максимума. ( y''(-6) > 0 ), значит, ( x = -6 ) — точка локального минимума.

Итак, точка максимума функции ( y = -x - \frac{36}{x} ) находится при ( x = 6 ).

Для того чтобы найти точку максимума функции y=-(x^2+36)/x, сначала найдем производную этой функции.

y=-(x^2+36)/x

y' = -[(2x * x - (x^2 + 36)) / x^2] y' = -[(2x^2 - x^2 - 36) / x^2] y' = -[(x^2 - 36) / x^2] y' = -[1 - 36/x^2] y' = 36/x^2 - 1

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

36/x^2 - 1 = 0 36/x^2 = 1 36 = x^2 x = ±6

Таким образом, у нас есть две возможные точки экстремума: x=6 и x=-6.

Теперь найдем значение функции в этих точках:

При x=6: y = -(6^2 + 36) / 6 = -(72) / 6 = -12

При x=-6: y = -((-6)^2 + 36) / -6 = -(36 + 36) / -6 = -12

Таким образом, точки максимума функции y=-(x^2+36)/x - это точки (6, -12) и (-6, -12). В этих точках функция достигает максимального значения -12.

Это объясняется тем, что у функции y=-(x^2+36)/x есть вертикальная асимптота в точке x=0, и при x, стремящемся к ±бесконечности, функция стремится к нулю, поэтому максимум функции достигается в точках x=6 и x=-6.