Найдите точку минимума функции x^{3/2}-9x+4.

Чтобы найти точку минимума функции, нужно найти производную и приравнять ее к нулю. Далее решить уравнение и подставить найденное значение обратно в исходное уравнение для нахождения точки минимума.

Чтобы найти точку минимума функции ( f(x) = x^{3/2} - 9x + 4 ), необходимо сначала найти производную этой функции и затем исследовать её на критические точки.

1. Найдём первую производную функции: [ f(x) = x^{3/2} - 9x + 4 ] [ f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 9 ]

2. Найдём критические точки: Критические точки находятся из условия, когда производная равна нулю: [ \frac{3}{2}x^{1/2} - 9 = 0 ] [ \frac{3}{2}x^{1/2} = 9 ] [ x^{1/2} = 6 ] [ x = 36 ]

3. Исследуем вторую производную для определения характера критической точки: Найдём вторую производную: [ f''(x) = \frac{3}{4}x^{-1/2} ]

   Подставим критическую точку ( x = 36 ) в вторую производную: [ f''(36) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{36}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{8} ]

   Поскольку ( f''(36) > 0 ), функция в точке ( x = 36 ) имеет локальный минимум.

4. Находим значение функции в точке минимума: [ f(36) = 36^{3/2} - 9 \cdot 36 + 4 ] [ = 216 - 324 + 4 ] [ = -104 ]

Таким образом, точка минимума функции ( f(x) = x^{3/2} - 9x + 4 ) находится в ( x = 36 ), и значение функции в этой точке равно (-104).

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

f'(x) = (3/2)x^(1/2) - 9

Теперь найдем точку, где производная равна нулю:

(3/2)x^(1/2) - 9 = 0

(3/2)x^(1/2) = 9

x^(1/2) = 6

x = 6^2

x = 36

Таким образом, точка минимума функции находится при x = 36. Для нахождения значения функции в этой точке подставим x обратно в исходное выражение:

f(36) = 36^(3/2) - 9*36 + 4 = 216 - 324 + 4 = -104

Итак, точка минимума функции x^(3/2) - 9x + 4 находится при x = 36 и значение функции в этой точке равно -104.