Найдите точку минимума функции y=2x-ln(x+3)+7

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю, а затем проверить, является ли данная точка минимумом или максимумом.

y' = 2 - 1/(x+3)

Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю:

2 - 1/(x+3) = 0 1/(x+3) = 2 x + 3 = 1/2 x = -5/2

Теперь проверим, является ли найденная точка минимумом или максимумом. Для этого найдем вторую производную:

y'' = 1/(x+3)^2

Подставим x = -5/2 во вторую производную:

y'' = 1/(-5/2 + 3)^2 = 1/(1/2)^2 = 4

Так как вторая производная положительна, то точка x = -5/2 является точкой минимума функции y=2x-ln(x+3)+7.

Следовательно, точка минимума функции y=2x-ln(x+3)+7 равна x = -5/2.

Для нахождения точки минимума функции ( y = 2x - \ln(x + 3) + 7 ) необходимо выполнить несколько шагов, включающих нахождение критических точек функции и проверку их на экстремум.

1. Найдём первую производную функции ( y ).

   Функция ( y ) задана как: [ y = 2x - \ln(x + 3) + 7 ]

   Найдём её первую производную по ( x ): [ y' = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(\ln(x + 3)) + \frac{d}{dx}(7) ] Производная от ( 2x ) равна 2: [ \frac{d}{dx}(2x) = 2 ] Производная от ( \ln(x + 3) ) равна (\frac{1}{x + 3}): [ \frac{d}{dx}(\ln(x + 3)) = \frac{1}{x + 3} ] Производная от константы (7) равна 0: [ \frac{d}{dx}(7) = 0 ] Таким образом, первая производная функции ( y ): [ y' = 2 - \frac{1}{x + 3} ]

2. Найдём критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ): [ 2 - \frac{1}{x + 3} = 0 ] Перенесём (\frac{1}{x + 3}) на правую сторону уравнения: [ 2 = \frac{1}{x + 3} ] Решим это уравнение относительно ( x ): [ 2(x + 3) = 1 ] [ 2x + 6 = 1 ] [ 2x = -5 ] [ x = -\frac{5}{2} ]

3. Проверим, является ли найденная точка точкой минимума, используя вторую производную функции ( y ).

   Найдём вторую производную ( y ): [ y'' = \frac{d}{dx}\left(2 - \frac{1}{x + 3}\right) ] Производная от 2 равна 0: [ \frac{d}{dx}(2) = 0 ] Производная от (-\frac{1}{x + 3}) равна (\frac{1}{(x + 3)^2}): [ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x + 3}\right) = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x + 3}\right) = -\left(\frac{-1}{(x + 3)^2}\right) = \frac{1}{(x + 3)^2} ] Таким образом, вторая производная функции ( y ): [ y'' = \frac{1}{(x + 3)^2} ]

   Подставим ( x = -\frac{5}{2} ) во вторую производную: [ y''\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{5}{2} + 3\right)^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 ]

   Поскольку ( y''\left(-\frac{5}{2}\right) = 4 > 0 ), вторая производная положительна, что указывает на то, что функция имеет минимум в этой точке.

Таким образом, точка минимума функции ( y = 2x - \ln(x + 3) + 7 ) находится в ( x = -\frac{5}{2} ).