Найдите точку минимума функции y=(x-7)^2(x+6)+3

Чтобы найти точку минимума заданной функции ( y = (x-7)^2(x+6) + 3 ), сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

1. Найдем производную функции ( y ): [ y = (x-7)^2(x+6) + 3 ] Применим правило производной произведения (u'v + uv'): [ u = (x-7)^2, \quad v = (x+6) ] [ u' = 2(x-7), \quad v' = 1 ] Тогда [ y' = 2(x-7)(x+6) + (x-7)^2 \cdot 1 = 2(x-7)(x+6) + (x-7)^2 ]

2. Упростим производную: [ y' = 2(x^2 - x - 42) + x^2 - 14x + 49 = 3x^2 - 16x + 7 ]

3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 3x^2 - 16x + 7 = 0 ]

4. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 3, b = -16, c = 7 ): [ x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 84}}{6} = \frac{16 \pm \sqrt{172}}{6} ] [ \sqrt{172} = 13.114, \quad x \approx \frac{16 \pm 13.114}{6} ] [ x_1 \approx \frac{29.114}{6} \approx 4.852, \quad x_2 \approx \frac{2.886}{6} \approx 0.481 ]

5. Определим, какая из этих точек является точкой минимума: Мы можем использовать вторую производную или проверить значения функции на интервалах между и за пределами корней. Вторая производная: [ y'' = 6x - 16 ] [ y''(4.852) = 6 \cdot 4.852 - 16 > 0, \quad y''(0.481) = 6 \cdot 0.481 - 16 < 0 ] Так как ( y''(4.852) > 0 ), точка ( x = 4.852 ) является точкой минимума.

Итак, точка минимума функции ( y ) приблизительно равна ( x = 4.852 ).

Для нахождения точки минимума функции y=(x-7)^2(x+6)+3 необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

y=(x-7)^2(x+6)+3 y' = 2(x-7)(x+6) + (x-7)^2 = 2x^2 - 8x - 84 + x^2 - 14x + 49 = 3x^2 - 22x - 35

Теперь приравниваем производную к нулю и находим точку минимума:

3x^2 - 22x - 35 = 0 (3x + 5)(x - 7) = 0 x1 = -5/3 x2 = 7

Таким образом, точка минимума функции y=(x-7)^2(x+6)+3 находится при x=7. Для нахождения значения y подставим x=7 в исходную функцию:

y=(7-7)^2(7+6)+3 = 3

Таким образом, точка минимума функции y=(x-7)^2(x+6)+3 равна (7, 3).

Точка минимума функции y=(x-7)^2(x+6)+3 равна (-3, 54).