Найдите ту первообразную F (x) для функции f (x)=-4x^3+1/x^2 график которой проходит через точку А(1;2)...

Чтобы найти первообразную ( F(x) ) для функции ( f(x) = -4x^3 + \frac{1}{x^2} ), нужно выполнить интегрирование. Первообразная функции — это такая функция, производная которой равна данной функции.

1. Интегрирование каждого члена функции:

   Мы начнем с интегрирования каждого члена функции отдельно.

   [ \int -4x^3 \, dx = -4 \int x^3 \, dx = -4 \cdot \frac{x^4}{4} = -x^4 ]

   [ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} ]

2. Запись общего интеграла:

   Собирая все вместе, получаем первообразную:

   [ F(x) = -x^4 - \frac{1}{x} + C ]

   Здесь ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

3. Нахождение постоянной C:

   Мы знаем, что график первообразной проходит через точку ( A(1; 2) ). Это означает, что при ( x = 1 ), значение ( F(x) = 2 ).

   Подставим это в выражение для ( F(x) ):

   [ 2 = -(1)^4 - \frac{1}{1} + C ]

   [ 2 = -1 - 1 + C ]

   [ 2 = -2 + C ]

   [ C = 4 ]

4. Окончательная форма первообразной:

   Подставив найденное значение ( C ) в выражение для ( F(x) ), получаем:

   [ F(x) = -x^4 - \frac{1}{x} + 4 ]

Таким образом, первообразная ( F(x) ) для функции ( f(x) = -4x^3 + \frac{1}{x^2} ), график которой проходит через точку ( A(1; 2) ), равна ( F(x) = -x^4 - \frac{1}{x} + 4 ).

Для нахождения первообразной функции F(x) для функции f(x)=-4x^3+1/x^2, проходящей через точку A(1;2), мы должны сначала найти первообразные отдельных частей функции.

Итак, найдем первообразную от -4x^3: Интегрируем -4x^3 получаем -x^4 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Теперь найдем первообразную от 1/x^2: Интегрируем 1/x^2 получаем -1/x + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Собираем все вместе и добавляем постоянную C: F(x) = -x^4 - 1/x + C.

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, подставим координаты точки A(1;2) в уравнение функции: 2 = -1 - 1 + C C = 4.

Таким образом, первообразная функции F(x) для f(x)=-4x^3+1/x^2, проходящей через точку A(1;2), будет: F(x) = -x^4 - 1/x + 4.