Найдите все значения х, при которых значения выражений х-4; корень из 6х; х+12 яв-ся тремя членами геометрической...

Чтобы найти все значения ( x ), при которых выражения ( x - 4 ), ( \sqrt{6x} ) и ( x + 12 ) являются тремя членами геометрической прогрессии, мы воспользуемся свойством геометрической прогрессии: для трех членов ( a ), ( b ) и ( c ) выполняется условие ( b^2 = ac ).

В нашем случае:

• ( a = x - 4 ),
• ( b = \sqrt{6x} ),
• ( c = x + 12 ).

Таким образом, мы можем записать уравнение: [ (\sqrt{6x})^2 = (x - 4)(x + 12). ]

Упростим это уравнение: [ 6x = (x - 4)(x + 12). ] Раскроем скобки на правой стороне: [ 6x = x^2 + 12x - 4x - 48, ] что упрощается до: [ 6x = x^2 + 8x - 48. ]

Теперь перенесем все члены в одну сторону: [ 0 = x^2 + 8x - 48 - 6x, ] что приводит к: [ 0 = x^2 + 2x - 48. ]

Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 2x - 48 = 0 ) с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac, ] где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -48 ): [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196. ]

Теперь найдём корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2}. ]

Это даёт нам два корня:

1. ( x_1 = \frac{12}{2} = 6 ),
2. ( x_2 = \frac{-16}{2} = -8 ).

Теперь проверим, подходят ли эти значения под условия задачи, особенно учитывая наличие квадратного корня в одном из выражений.

1. Для ( x = 6 ):

   • ( x - 4 = 6 - 4 = 2 ),
   • ( \sqrt{6x} = \sqrt{36} = 6 ),
   • ( x + 12 = 6 + 12 = 18 ). Проверяем пропорции: [ 2, 6, 18 \quad \text{(Прогрессия: } 6^2 = 2 \cdot 18 \text{, выполняется)}. ]

2. Для ( x = -8 ):

   • ( x - 4 = -8 - 4 = -12 ),
   • ( \sqrt{6x} = \sqrt{6 \cdot (-8)} ) — здесь выражение не определено, так как корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
   • ( x + 12 = -8 + 12 = 4 ).

Таким образом, значение ( x = -8 ) не подходит, так как не определяет все члены прогрессии.

Следовательно, единственное значение ( x ), при котором выражения ( x - 4 ), ( \sqrt{6x} ) и ( x + 12 ) образуют геометрическую прогрессию, это: [ \boxed{6}. ]

Чтобы найти все значения ( x ), при которых выражения ( x-4 ), ( \sqrt{6x} ), ( x+12 ) являются тремя членами геометрической прогрессии, используем определение геометрической прогрессии:

Определение:

Три числа образуют геометрическую прогрессию, если квадрат среднего члена равен произведению крайнего и крайнего членов. То есть, если ( a ), ( b ), ( c ) — три члена геометрической прогрессии, то выполняется равенство: [ b^2 = a \cdot c ]

Дано:

• Первый член прогрессии: ( a = x - 4 ),
• Второй член прогрессии: ( b = \sqrt{6x} ),
• Третий член прогрессии: ( c = x + 12 ).

Тогда из условия геометрической прогрессии: [ (\sqrt{6x})^2 = (x - 4)(x + 12) ]

Решение:

1. Найдём квадрат второго члена: [ (\sqrt{6x})^2 = 6x ]

2. Подставим это в уравнение: [ 6x = (x - 4)(x + 12) ]

3. Раскроем скобки в правой части уравнения: [ 6x = x^2 + 12x - 4x - 48 ] [ 6x = x^2 + 8x - 48 ]

4. Перенесём всё в одну сторону: [ 0 = x^2 + 8x - 48 - 6x ] [ 0 = x^2 + 2x - 48 ]

5. Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 2x - 48 = 0 ]

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -48 ).

Подставляем значения: [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} ] [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} ] [ x = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

1. Найдём два корня: [ x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 ] [ x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ]

Проверка:

Проверим оба найденных значения ( x ).

• Для ( x = 6 ): [ x - 4 = 6 - 4 = 2, \quad \sqrt{6x} = \sqrt{6 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6, \quad x + 12 = 6 + 12 = 18 ] Проверим, являются ли ( 2 ), ( 6 ), ( 18 ) членами геометрической прогрессии: [ 6^2 = 2 \cdot 18 \quad \text{(да, верно, так как ( 36 = 36 ))}. ]

• Для ( x = -8 ): [ x - 4 = -8 - 4 = -12, \quad \sqrt{6x} = \sqrt{6 \cdot (-8)} = \sqrt{-48} \quad \text{(не определено для вещественных чисел)}. ] Значит, ( x = -8 ) не подходит.

Ответ:

Единственное значение ( x ), при котором выражения ( x-4 ), ( \sqrt{6x} ), ( x+12 ) являются членами геометрической прогрессии: [ \boxed{x = 6} ]