Найдите значения b, при которых парабола y=2x^2+bx+18 касается оси x. Для каждого значения b определите...

Чтобы найти значения ( b ), при которых парабола ( y = 2x^2 + bx + 18 ) касается оси ( x ), необходимо, чтобы уравнение параболы имело ровно один корень. Это условие выполняется, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

Уравнение параболы ( y = 2x^2 + bx + 18 ) касается оси ( x ), когда дискриминант уравнения ( 2x^2 + bx + 18 = 0 ) равен нулю.

Формула дискриминанта для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) равна:

[ D = b^2 - 4ac ]

Подставим наши значения: ( a = 2 ), ( b = b ), ( c = 18 ):

[ D = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = b^2 - 144 ]

Чтобы парабола касалась оси ( x ), дискриминант должен быть равен нулю:

[ b^2 - 144 = 0 ]

Решим это уравнение:

[ b^2 = 144 ]

[ b = \pm 12 ]

Значения ( b ), при которых парабола касается оси ( x ), равны ( b = 12 ) и ( b = -12 ).

Теперь найдем координаты точки касания для каждого значения ( b ).

1. Для ( b = 12 ):

   Уравнение параболы: ( 2x^2 + 12x + 18 = 0 ).

   Найдем корень этого уравнения:

   Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет один корень, который вычисляется как:

   [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot 2} = -\frac{12}{4} = -3 ]

   Подставим ( x = -3 ) в уравнение ( y = 2x^2 + 12x + 18 ), чтобы найти ( y ):

   [ y = 2(-3)^2 + 12(-3) + 18 = 18 - 36 + 18 = 0 ]

   Таким образом, точка касания: ( (-3, 0) ).

2. Для ( b = -12 ):

   Уравнение параболы: ( 2x^2 - 12x + 18 = 0 ).

   Найдем корень этого уравнения:

   [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 ]

   Подставим ( x = 3 ) в уравнение ( y = 2x^2 - 12x + 18 ), чтобы найти ( y ):

   [ y = 2(3)^2 - 12(3) + 18 = 18 - 36 + 18 = 0 ]

   Таким образом, точка касания: ( (3, 0) ).

Итак, парабола касается оси ( x ) при ( b = 12 ) в точке ( (-3, 0) ) и при ( b = -12 ) в точке ( (3, 0) ).

Для того чтобы парабола касалась оси x, у неё должно быть ровно одно решение уравнения y = 0. То есть дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 равен D = B^2 - 4AC. В данном случае уравнение имеет вид 2x^2 + bx + 18 = 0, поэтому A = 2, B = b, C = 18. Подставляя в формулу для дискриминанта, получаем:

D = b^2 - 4218 = b^2 - 144

Для того чтобы парабола касалась оси x, D должен быть равен нулю:

b^2 - 144 = 0 b^2 = 144 b = ±12

Таким образом, значения b, при которых парабола y = 2x^2 + bx + 18 касается оси x, равны ±12. Для каждого значения b найдем координаты точки касания.

Подставим b = 12 в уравнение параболы:

y = 2x^2 + 12x + 18

Дифференцируем это уравнение и приравниваем производную к нулю для нахождения x-координаты точки касания:

4x + 12 = 0 x = -3

Подставляем найденное значение x обратно в уравнение параболы для нахождения y-координаты:

y = 2(-3)^2 + 12(-3) + 18 y = 18 - 36 + 18 y = 0

Таким образом, при b = 12 точка касания находится в (-3, 0).

Аналогично, при b = -12 точка касания будет иметь координаты (3, 0).