Найдите значение производной функции f(x)=0,5cos(3x-(pi/6)) в точке x0=pi/9

Чтобы найти значение производной функции ( f(x) = 0.5 \cos(3x - \frac{\pi}{6}) ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{9} ), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции ( f(x) ):

   Функция ( f(x) = 0.5 \cos(3x - \frac{\pi}{6}) ) является композицией функций, где внешняя функция — это косинус, а внутренняя функция — это линейная функция ( 3x - \frac{\pi}{6} ).

   Производная косинуса: (\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u)).

   Применяем правило цепочки:

   [ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 0.5 \cos(3x - \frac{\pi}{6}) \right] = 0.5 \cdot (-\sin(3x - \frac{\pi}{6})) \cdot \frac{d}{dx}(3x - \frac{\pi}{6}). ]

   Производная внутренней функции ( 3x - \frac{\pi}{6} ) равна 3, так как производная константы равна нулю.

   Следовательно:

   [ f'(x) = 0.5 \cdot (-\sin(3x - \frac{\pi}{6})) \cdot 3 = -1.5 \sin(3x - \frac{\pi}{6}). ]

2. Подставим ( x_0 = \frac{\pi}{9} ) в производную:

   Найдем значение ( f'(x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{9} ):

   [ f'\left(\frac{\pi}{9}\right) = -1.5 \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{6}\right). ]

   Упростим выражение внутри синуса:

   [ 3 \cdot \frac{\pi}{9} = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}, ]

   [ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}. ]

   Таким образом, имеем:

   [ f'\left(\frac{\pi}{9}\right) = -1.5 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right). ]

3. Вычислим значение синуса:

   (\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}).

   Поэтому:

   [ f'\left(\frac{\pi}{9}\right) = -1.5 \cdot \frac{1}{2} = -0.75. ]

Таким образом, значение производной функции ( f(x) = 0.5 \cos(3x - \frac{\pi}{6}) ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{9} ) равно (-0.75).

Для нахождения значения производной функции f(x)=0,5cos(3x-(pi/6)) в точке x0=pi/9, нам необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции.

Сначала найдем производную косинуса cos(u), где u=3x-(pi/6): (d/dx)cos(u) = -sin(u) * du/dx.

Теперь найдем производную функции f(x): f'(x) = 0,5 (-sin(3x-(pi/6)) (d/dx)(3x-(pi/6))) f'(x) = 0,5 (-sin(3x-(pi/6)) 3) f'(x) = -1,5 * sin(3x-(pi/6))

Теперь подставим значение x0=pi/9 в производную функции: f'(pi/9) = -1,5 sin(3(pi/9)-(pi/6)) f'(pi/9) = -1,5 sin(pi/3-pi/6) f'(pi/9) = -1,5 sin(pi/6) f'(pi/9) = -1,5 * 0,5 f'(pi/9) = -0,75

Итак, значение производной функции f(x)=0,5cos(3x-(pi/6)) в точке x0=pi/9 равно -0,75.