Найдите значение выражения 23 / sin^2 56 + sin^2 146

Для нахождения значения данного выражения необходимо вначале найти значения синусов для углов 56 и 146 градусов, а затем подставить их в формулу выражения.

Сначала найдем синус угла 56 градусов: sin(56°) ≈ 0.829

Затем найдем синус угла 146 градусов: sin(146°) ≈ -0.829

Теперь подставим найденные значения в выражение: 23 / sin^2 56 + sin^2 146 = 23 / (0.829)^2 + (-0.829)^2 = 23 / 0.687841 + 0.687841 ≈ 33.42

Итак, значение данного выражения равно примерно 33.42.

Чтобы найти значение выражения ( \frac{23}{\sin^2 56^\circ} + \sin^2 146^\circ ), нужно сначала упростить и вычислить каждую составляющую.

1. Упрощение выражения:

   Сначала рассмотрим ( \sin^2 146^\circ ). Используя известное тригонометрическое свойство: [ \sin(180^\circ - x) = \sin x ] Получаем: [ \sin 146^\circ = \sin (180^\circ - 34^\circ) = \sin 34^\circ ] Следовательно: [ \sin^2 146^\circ = \sin^2 34^\circ ]

2. Выражение через синус:

   Теперь наше выражение принимает вид: [ \frac{23}{\sin^2 56^\circ} + \sin^2 34^\circ ]

3. Использование тригонометрического тождества:

   Известно, что: [ \sin(90^\circ - x) = \cos x ] Поэтому: [ \sin 56^\circ = \cos 34^\circ ] Следовательно: [ \sin^2 56^\circ = \cos^2 34^\circ ]

   Таким образом, выражение становится: [ \frac{23}{\cos^2 34^\circ} + \sin^2 34^\circ ]

4. Использование основного тригонометрического тождества:

   Из основного тригонометрического тождества: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ] для ( x = 34^\circ ) получаем: [ \sin^2 34^\circ + \cos^2 34^\circ = 1 ]

5. Выражение через тангенс:

   Теперь, чтобы упростить выражение ( \frac{23}{\cos^2 34^\circ} ), можно использовать тождество: [ \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x ] Тогда: [ \frac{23}{\cos^2 34^\circ} = 23 \sec^2 34^\circ = 23 (1 + \tan^2 34^\circ) ]

6. Подставляем и вычисляем:

   Объединяя всё вместе, получаем: [ 23 (1 + \tan^2 34^\circ) + \sin^2 34^\circ ] Используя основное тригонометрическое тождество, ( 1 = \sin^2 34^\circ + \cos^2 34^\circ ), и переписывая: [ 23 (1 + \tan^2 34^\circ) + \sin^2 34^\circ = 23 + 23 \tan^2 34^\circ + \sin^2 34^\circ ] Заметим, что (\tan^2 34^\circ = \frac{\sin^2 34^\circ}{\cos^2 34^\circ} = \frac{\sin^2 34^\circ}{1 - \sin^2 34^\circ}). Подставляя это обратно, выражение становится довольно сложным для простого вычисления вручную, и на данном этапе можно использовать численные методы для вычисления значения.

7. Численное вычисление (если требуется):

   Используя калькулятор или специализированное программное обеспечение, можно вычислить точные значения тригонометрических функций для данных углов. В итоге, численное значение выражения будет равно:

   [ \frac{23}{\sin^2 56^\circ} + \sin^2 146^\circ \approx 23 \times 1.470 + 0.314 \approx 33.08 ]

Таким образом, значение выражения приближенно равно 33.08.

Значение выражения равно 23.