Найдите знаменатель геометрической прогрессии если b6=4 b4=36

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, сначала вспомним основные свойства такой прогрессии. В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на постоянное число ( q ), которое называется знаменателем прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии через ( b_1 ), а знаменатель через ( q ). Тогда любой ( n )-й член прогрессии можно выразить формулой: [ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

По условию задачи даны: [ b_6 = 4 ] [ b_4 = 36 ]

Используя общую формулу для членов прогрессии, запишем: [ b_6 = b_1 \cdot q^5 = 4 ] [ b_4 = b_1 \cdot q^3 = 36 ]

Теперь у нас есть две уравнения:

1. ( b_1 \cdot q^5 = 4 )
2. ( b_1 \cdot q^3 = 36 )

Разделим первое уравнение на второе, чтобы избавиться от ( b_1 ): [ \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} = \frac{4}{36} ]

Получаем: [ q^2 = \frac{4}{36} ] [ q^2 = \frac{1}{9} ]

Отсюда: [ q = \pm \frac{1}{3} ]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может быть либо ( \frac{1}{3} ), либо ( -\frac{1}{3} ).

Чтобы убедиться, что оба значения подходят, можно проверить их подставлением в одно из исходных уравнений. Например, для ( q = \frac{1}{3} ): [ b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 36 ] [ b_1 \cdot \frac{1}{27} = 36 ] [ b_1 = 36 \cdot 27 ] [ b_1 = 972 ]

Для ( q = -\frac{1}{3} ): [ b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = 36 ] [ b_1 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = 36 ] [ b_1 = 36 \cdot (-27) ] [ b_1 = -972 ]

Подставим теперь в выражение для ( b_6 ): Для ( q = \frac{1}{3} ): [ b_6 = 972 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 = 972 \cdot \frac{1}{243} = 4 ]

Для ( q = -\frac{1}{3} ): [ b_6 = -972 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -972 \cdot -\frac{1}{243} = 4 ]

Оба значения знаменателя ( q ) удовлетворяют условиям задачи, поэтому ответ: [ q = \pm \frac{1}{3} ]

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для нахождения элементов геометрической прогрессии.

Из условия задачи у нас имеются два элемента геометрической прогрессии: b4 = 36 и b6 = 4.

Для начала найдем знаменатель прогрессии q. Поскольку b6 = b4 * q^2, мы можем составить уравнение:

4 = 36 * q^2

Далее найдем значение q:

q^2 = 4 / 36 q^2 = 1 / 9 q = ±1 / 3

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3 или -1/3.