Найти частное комплексных чисел: а) 1/i б) 1/1+i в) 5-i/i+2

а) Для нахождения частного комплексных чисел 1/i нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное число к i. Сопряженное число к i это -i. Тогда получаем: 1/i = 1/i * (-i)/(-i) = -i/i^2 = -i/-1 = i

б) Для нахождения частного комплексных чисел 1/(1+i) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное число к (1+i). Сопряженное число к (1+i) это (1-i). Тогда получаем: 1/(1+i) = 1/(1+i) * (1-i)/(1-i) = (1-i)/(1^2 - i^2) = (1-i)/(1-(-1)) = (1-i)/2 = 0.5 - 0.5i

в) Для нахождения частного комплексных чисел (5-i)/(i+2) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное число к (i+2). Сопряженное число к (i+2) это (-i+2). Тогда получаем: (5-i)/(i+2) = (5-i)/(i+2) * (-i+2)/(-i+2) = (-5i+10+i-2i^2)/(-i^2+2i+i-2) = (-5i+10+i+2)/(-1+2i+i-2) = (-4+6i)/(-3+i) = 4/3 - 2i/3

Для нахождения частного комплексных чисел необходимо воспользоваться идеей умножения числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя. Это позволяет избавиться от мнимой части в знаменателе.

а) Частное ( \frac{1}{i} ).

Для этого выражения найдем сопряжённое к ( i ), которое равно ( -i ). Умножаем и числитель, и знаменатель на ( -i ): [ \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i. ]

б) Частное ( \frac{1}{1+i} ).

Сопряжённое к ( 1+i ) равно ( 1-i ). Умножаем числитель и знаменатель на ( 1-i ): [ \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1 - i^2} = \frac{1-i}{1 + 1} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i. ]

в) Частное ( \frac{5-i}{i+2} ).

Сопряжённое к ( i+2 ) равно ( -i+2 ). Умножаем числитель и знаменатель на ( -i+2 ): [ \frac{5-i}{i+2} \cdot \frac{-i+2}{-i+2} = \frac{(5-i)(-i+2)}{(i+2)(-i+2)} = \frac{-5i+10 + i^2 - 2i}{i^2 - 2i + 2i -4} = \frac{-5i + 10 -1 - 2i}{-1 - 4} = \frac{9 - 7i}{-5}. ]

Делим каждую часть: [ \frac{9}{-5} + \frac{-7i}{-5} = -\frac{9}{5} + \frac{7}{5}i. ]

Таким образом, ответы: а) ( -i ), б) ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i ), в) ( -\frac{9}{5} + \frac{7}{5}i ).

а) 1/i = -i б) 1/(1+i) = 1/2 - 1/2i в) (5-i)/(i+2) = (5-i)(i-2)/(i+2)(i-2) = (5i-10-i+2)/(i^2-2i+2i-4) = (2-4-1-10i)/(1+2) = -3-10i