Найти Ctg^2 x ,если 25sin^2 x+44cos^2 x=36

Для решения уравнения (25\sin^2 x + 44\cos^2 x = 36) начнем с преобразования его в более удобную форму. Мы знаем, что (\sin^2 x + \cos^2 x = 1). Для удобства обозначим (\sin^2 x = y). Тогда (\cos^2 x = 1 - y).

Подставим это в уравнение:

[ 25y + 44(1 - y) = 36. ]

Раскроем скобки:

[ 25y + 44 - 44y = 36. ]

Соберем подобные члены:

[ (25y - 44y) + 44 = 36, ] [ -19y + 44 = 36. ]

Теперь перенесем 44 на правую сторону:

[ -19y = 36 - 44, ] [ -19y = -8, ]

Разделим обе стороны на -19:

[ y = \frac{8}{19}. ]

Теперь, зная (y = \sin^2 x), можем найти (\cos^2 x):

[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{8}{19} = \frac{19 - 8}{19} = \frac{11}{19}. ]

Теперь найдем (\cot^2 x):

[ \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\frac{11}{19}}{\frac{8}{19}} = \frac{11}{8}. ]

Таким образом, значение (\cot^2 x) равно:

[ \cot^2 x = \frac{11}{8}. ]

Это и есть ответ на задачу.

Рассмотрим уравнение: ( 25\sin^2 x + 44\cos^2 x = 36 ). Нам нужно найти ( \cot^2 x ), где ( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} ), а ( \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} ).

Шаг 1. Используем основное тригонометрическое тождество

Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. ] Обозначим ( \sin^2 x = t ), тогда ( \cos^2 x = 1 - t ). Подставим это в исходное уравнение.

Шаг 2. Подставим выражения в уравнение

[ 25\sin^2 x + 44\cos^2 x = 36 ] [ 25t + 44(1 - t) = 36. ] Раскроем скобки: [ 25t + 44 - 44t = 36. ] Сгруппируем и упростим: [ -19t + 44 = 36. ] [ -19t = 36 - 44. ] [ -19t = -8. ] [ t = \frac{8}{19}. ]

Итак, ( \sin^2 x = t = \frac{8}{19} ), а ( \cos^2 x = 1 - t = 1 - \frac{8}{19} = \frac{11}{19} ).

Шаг 3. Найдем ( \cot^2 x )

По определению: [ \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}. ] Подставим значения ( \cos^2 x ) и ( \sin^2 x ): [ \cot^2 x = \frac{\frac{11}{19}}{\frac{8}{19}} = \frac{11}{8}. ]

Ответ:

[ \cot^2 x = \frac{11}{8}. ]

Для решения уравнения ( 25\sin^2 x + 44\cos^2 x = 36 ) можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ).

Обозначим ( \sin^2 x = y ), тогда ( \cos^2 x = 1 - y ). Подставим это в уравнение:

[ 25y + 44(1 - y) = 36 ]

Упрощаем:

[ 25y + 44 - 44y = 36 ]

[ -19y + 44 = 36 ]

[ -19y = 36 - 44 ]

[ -19y = -8 ]

[ y = \frac{8}{19} ]

Теперь найдём ( \sin^2 x ) и ( \cos^2 x ):

[ \sin^2 x = \frac{8}{19}, \quad \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{8}{19} = \frac{11}{19} ]

Теперь найдём ( \cot^2 x ):

[ \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\frac{11}{19}}{\frac{8}{19}} = \frac{11}{8} ]

Итак, ответ:

[ \cot^2 x = \frac{11}{8} ]