Найти экстремумы функции f(x)=(8-7x)*e^x

Для нахождения экстремумов функции f(x)=(8-7x)*e^x необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

f'(x) = (8-7x)e^x + (-7)e^x = (8-7x-7)e^x = (1-7x)e^x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем x:

(1-7x)*e^x = 0

Решив это уравнение, получим x = 1/7.

Теперь найдем вторую производную функции f(x) и подставим найденное значение x = 1/7:

f''(x) = (-7)e^x + (1-7x)e^x = (-6-71/7)e^1/7 = -6e^1/7 < 0

Так как вторая производная отрицательна, то точка x = 1/7 является точкой максимума функции f(x)=(8-7x)*e^x.

Итак, экстремум функции f(x) равен f(1/7) = (8-7(1/7))e^(1/7) = 8e^(1/7).

Чтобы найти экстремумы функции ( f(x) = (8 - 7x)e^x ), необходимо следовать нескольким шагам, включая нахождение производной и анализ критических точек.

Шаг 1: Найдите производную функции

Функция ( f(x) = (8 - 7x)e^x ) состоит из двух функций: ((8 - 7x)) и (e^x). Мы будем использовать правило произведения для нахождения производной:

Если ( u(x) = 8 - 7x ) и ( v(x) = e^x ), то ( f(x) = u(x)v(x) ) и производная ( f'(x) ) равна:

[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Где:

• ( u'(x) = -7 )
• ( v(x) = e^x )
• ( v'(x) = e^x )

Подставим в формулу:

[ f'(x) = (-7)e^x + (8 - 7x)e^x = e^x(-7 + 8 - 7x) ]

Упростим выражение:

[ f'(x) = e^x(1 - 7x) ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Поскольку ( e^x ) никогда не равен нулю и всегда определен, нам нужно решить уравнение:

[ 1 - 7x = 0 ]

Решаем уравнение:

[ 7x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{7} ]

Шаг 3: Определите характер критических точек

Чтобы определить, является ли точка ( x = \frac{1}{7} ) максимумом или минимумом, используем второй метод производной или тест первой производной.

Тест первой производной: Проверим знак производной ( f'(x) ) слева и справа от критической точки ( x = \frac{1}{7} ).

• Для ( x < \frac{1}{7} ), например, ( x = 0 ):

[ f'(0) = e^0(1 - 7 \cdot 0) = 1 > 0 ]

Производная положительна, функция возрастает.

• Для ( x > \frac{1}{7} ), например, ( x = 1 ):

[ f'(1) = e^1(1 - 7 \cdot 1) = e^1(-6) < 0 ]

Производная отрицательна, функция убывает.

Это означает, что в точке ( x = \frac{1}{7} ) функция имеет локальный максимум.

Шаг 4: Найдите значение функции в экстремуме

Подставим ( x = \frac{1}{7} ) в исходную функцию, чтобы найти значение в экстремуме:

[ f\left(\frac{1}{7}\right) = \left(8 - 7 \cdot \frac{1}{7}\right)e^{\frac{1}{7}} = \left(8 - 1\right)e^{\frac{1}{7}} = 7e^{\frac{1}{7}} ]

Заключение

Функция ( f(x) = (8 - 7x)e^x ) имеет локальный максимум в точке ( x = \frac{1}{7} ), и значение функции в этой точке равно ( 7e^{\frac{1}{7}} ).