Найти корни уравнения принадлежащие отрезку [0;3п] cos x=корень из 2/2

Для решения уравнения (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}) необходимо вспомнить, на каких углах косинус принимает значение (\frac{\sqrt{2}}{2}).

Значение (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует следующим углам на тригонометрической окружности:

• (x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi)
• (x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi)

где (k) — любое целое число, так как косинус — периодическая функция с периодом (2\pi).

Теперь найдём все значения (x), которые удовлетворяют данным выражениям и принадлежат отрезку ([0; 3\pi]).

1. Для первого выражения (x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi):

   • При (k = 0): (x = \frac{\pi}{4})
   • При (k = 1): (x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4})

   Проверяем, что данные значения лежат в отрезке ([0; 3\pi]):

   • (\frac{\pi}{4} \approx 0.785), (3\pi \approx 9.425), (\frac{pi}{4} \in [0; 3\pi])
   • (\frac{9\pi}{4} \approx 7.068), (\frac{9\pi}{4} \in [0; 3\pi])

2. Для второго выражения (x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi):

   • При (k = 0): (x = \frac{7\pi}{4})
   • При (k = 1): (x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{15\pi}{4})

   Проверяем, что данные значения лежат в отрезке ([0; 3\pi]):

   • (\frac{7\pi}{4} \approx 5.498), (\frac{7\pi}{4} \in [0; 3\pi])
   • (\frac{15\pi}{4} \approx 11.781), но (\frac{15\pi}{4} \notin [0; 3\pi])

Таким образом, корни уравнения (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}), принадлежащие отрезку ([0; 3\pi]), следующие:

• (x = \frac{\pi}{4})
• (x = \frac{9\pi}{4})
• (x = \frac{7\pi}{4})

Это все значения (x) внутри указанного отрезка, которые удовлетворяют данному уравнению.

Корни уравнения cos x = корень из 2/2, принадлежащие отрезку [0;3п], равны pi/4 и 7pi/4.

Для начала перепишем уравнение в виде x = arccos(√2/2), где arccos обозначает обратную функцию косинуса. Так как косинус является периодической функцией, то получим бесконечное множество корней на промежутке [0;3π]. Однако, так как arccos имеет область значений [0;π], то нашим решением будет x = arccos(√2/2), так как это корень, лежащий в заданном промежутке. Таким образом, корень уравнения cos x = √2/2 находится в интервале [0;3π] и равен x = arccos(√2/2).