Найти математическое ожидание случайной величины Х, ее дисперсию и средне квадратичное отклонение, зная...

Математическое ожидание случайной величины X можно найти как сумму произведений значений X на их вероятности: E(X) = (-2) 0,1 + (-1) 0,2 + 0 0,3 + 1 0,3 + 2 * 0,1 = -0,2 - 0,2 + 0 + 0,3 + 0,2 = 0,1.

Дисперсия случайной величины X вычисляется как сумма произведений квадрата разности значений X и математического ожидания на их вероятности: D(X) = (-2 - 0,1)^2 0,1 + (-1 - 0,1)^2 0,2 + (0 - 0,1)^2 0,3 + (1 - 0,1)^2 0,3 + (2 - 0,1)^2 0,1 = 4,41 0,1 + 1,21 0,2 + 0,01 0,3 + 0,81 0,3 + 3,61 0,1 = 0,441 + 0,242 + 0,003 + 0,243 + 0,361 = 1,29.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии: σ(X) = √D(X) = √1,29 ≈ 1,14.

Для того чтобы найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины ( X ), нужно выполнить следующие шаги:

Математическое ожидание (ожидаемое значение)

Математическое ожидание ( E(X) ) случайной величины ( X ) определяется как сумма произведений значений ( X ) на их соответствующие вероятности ( P ):

[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i) ]

В нашем случае:

[ E(X) = (-2) \cdot 0.1 + (-1) \cdot 0.2 + 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.1 ]

Вычислим поэтапно:

[ E(X) = (-2 \cdot 0.1) + (-1 \cdot 0.2) + (0 \cdot 0.3) + (1 \cdot 0.3) + (2 \cdot 0.1) ] [ E(X) = -0.2 + (-0.2) + 0 + 0.3 + 0.2 ] [ E(X) = -0.4 + 0.5 ] [ E(X) = 0.1 ]

Дисперсия

Дисперсия ( \text{Var}(X) ) случайной величины ( X ) определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

[ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] ]

Для начала вычислим ( (X - E(X))^2 ) для каждого значения ( X ):

[ (-2 - 0.1)^2 = (-2.1)^2 = 4.41 ] [ (-1 - 0.1)^2 = (-1.1)^2 = 1.21 ] [ (0 - 0.1)^2 = (-0.1)^2 = 0.01 ] [ (1 - 0.1)^2 = (0.9)^2 = 0.81 ] [ (2 - 0.1)^2 = (1.9)^2 = 3.61 ]

Теперь умножаем каждое значение на соответствующую вероятность и суммируем:

[ \text{Var}(X) = (4.41 \cdot 0.1) + (1.21 \cdot 0.2) + (0.01 \cdot 0.3) + (0.81 \cdot 0.3) + (3.61 \cdot 0.1) ]

Вычислим поэтапно:

[ \text{Var}(X) = 0.441 + 0.242 + 0.003 + 0.243 + 0.361 ] [ \text{Var}(X) = 1.29 ]

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение ( \sigma ) — это корень квадратный из дисперсии:

[ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} ]

[ \sigma = \sqrt{1.29} \approx 1.136 ]

Итог

• Математическое ожидание ( E(X) ): ( 0.1 )
• Дисперсия ( \text{Var}(X) ): ( 1.29 )
• Среднеквадратическое отклонение ( \sigma ): ( \approx 1.136 )