Найти область определения функции а) y=sin3/x б) y=cos( x-1)/(x+3) в) y= tgsx

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях переменной функция будет иметь смысл.

а) ( y = \sin\left(\frac{3}{x}\right) )

Функция ( \sin(x) ) определена для всех вещественных чисел, но в данном случае у нас есть аргумент ( \frac{3}{x} ). Эта дробь не определена, когда ( x = 0 ). Таким образом, область определения функции будет:

• ( x \in \mathbb{R} \setminus {0} )

Это означает, что функция определена для всех вещественных чисел, кроме 0.

б) ( y = \frac{\cos(x - 1)}{x + 3} )

Здесь необходимо учитывать два аспекта:

1. Функция ( \cos(x - 1) ) определена для всех вещественных ( x ).
2. Дробь ( \frac{1}{x + 3} ) не определена, когда ( x + 3 = 0 ), то есть ( x = -3 ).

Таким образом, область определения функции будет:

• ( x \in \mathbb{R} \setminus {-3} )

Функция определена для всех вещественных чисел, кроме -3.

в) ( y = \tan(x) )

Функция тангенса ( \tan(x) ) имеет особенности (разрывы) в точках, где ( \cos(x) = 0 ). Это происходит в точках:

• ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ), где ( k ) — любое целое число.

Таким образом, область определения функции будет:

• ( x \in \mathbb{R} \setminus \left{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right} )

Это означает, что функция определена для всех вещественных чисел, кроме точек ( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} ) и т.д., где тангенс не имеет значения.

Резюме

• а) ( y = \sin\left(\frac{3}{x}\right) ): ( x \in \mathbb{R} \setminus {0} )
• б) ( y = \frac{\cos(x - 1)}{x + 3} ): ( x \in \mathbb{R} \setminus {-3} )
• в) ( y = \tan(x) ): ( x \in \mathbb{R} \setminus \left{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right} )

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях переменной ( x ) выражение, задающее функцию, имеет смысл. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

а) ( y = \sin \frac{3}{x} )

Функция (\sin z) определена для всех значений (z \in \mathbb{R}). Однако под знаком синуса находится дробь (\frac{3}{x}), которая не определена при (x = 0), поскольку деление на ноль невозможно.

Таким образом, область определения функции: [ D(y) = {x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0} \quad \text{или} \quad x \in \mathbb{R} \setminus {0}. ]

б) ( y = \frac{\cos(x - 1)}{x + 3} )

1. Функция (\cos(x - 1)) определена для всех (x \in \mathbb{R}), так как косинус определён для любого значения аргумента.
2. Однако знаменатель (x + 3) не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Это значит, что (x + 3 \neq 0), или (x \neq -3).

Таким образом, область определения функции: [ D(y) = {x \in \mathbb{R} \mid x \neq -3} \quad \text{или} \quad x \in \mathbb{R} \setminus {-3}. ]

в) ( y = \tan(\sin x) )

Функция (\tan z) определена, если (\cos z \neq 0), то есть (z \neq \frac{\pi}{2} + \pi k), где (k \in \mathbb{Z}) (целые числа).

В данном случае аргумент (\tan) — это (\sin x), поэтому нужно найти, при каких (x) выполняется (\sin x = \pm 1).

• (\sin x = 1), если ( x = \pi/2 + 2\pi k) .