Найти область определения функции: y=корень x^2-3x-4

Для того чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{x^2 - 3x - 4} ), нужно определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем является неотрицательным, так как квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

Итак, нам необходимо решить неравенство: [ x^2 - 3x - 4 \geq 0 ]

Для этого сначала найдём корни квадратного уравнения ( x^2 - 3x - 4 = 0 ). Корни квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта ( D ).

Формула дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ). Подставим эти значения в формулу дискриминанта: [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ]

Теперь найдём корни уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения: [ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 ]

Теперь у нас есть корни: ( x = 4 ) и ( x = -1 ). Эти корни делят числовую ось на три интервала: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 4) ) и ( (4, \infty) ).

Для определения знаков выражения ( x^2 - 3x - 4 ) в этих интервалах используем метод интервалов. Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение ( x^2 - 3x - 4 ):

1. Интервал ( (-\infty, -1) ): Выберем точку ( x = -2 ): [ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 ]

2. Интервал ( (-1, 4) ): Выберем точку ( x = 0 ): [ 0^2 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 < 0 ]

3. Интервал ( (4, \infty) ): Выберем точку ( x = 5 ): [ 5^2 - 3 \cdot 5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 ]

Таким образом, выражение ( x^2 - 3x - 4 ) неотрицательно на интервалах ( (-\infty, -1] ) и ( [4, \infty) ). Включение граничных точек ( x = -1 ) и ( x = 4 ) обусловлено тем, что в этих точках выражение под корнем равно нулю, и корень из нуля определён.

Итак, область определения функции: [ x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) ]

Таким образом, функция ( y = \sqrt{x^2 - 3x - 4} ) определена для всех ( x ) из объединения интервалов ( (-\infty, -1] \cup [4, \infty) ).

Для функции y = √(x^2 - 3x - 4) областью определения являются значения x, для которых x^2 - 3x - 4 ≥ 0, так как под корнем не может быть отрицательное число.

Для того чтобы найти область определения функции y = √(x^2 - 3x - 4), необходимо определить значения x, при которых подкоренное выражение неотрицательно.

Для этого нужно решить неравенство x^2 - 3x - 4 ≥ 0. Для начала найдем корни этого квадратного уравнения.

x^2 - 3x - 4 = 0 D = (-3)^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25 x1,2 = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2 x1 = 4, x2 = -1

Теперь построим знаки функции x^2 - 3x - 4 на числовой прямой, используя найденные корни:

---(-1)---(-1)---(4)---(4)---

Таким образом, наша функция y = √(x^2 - 3x - 4) определена при x принадлежащих интервалам (-∞, -1] и [4, +∞).

Таким образом, область определения функции y = √(x^2 - 3x - 4) - это множество всех действительных чисел x, таких что x ≤ -1 или x ≥ 4.