Найти область значения функции y=4x-x²

Чтобы найти область значений функции ( y = 4x - x^2 ), необходимо определить все возможные значения ( y ), которые принимает эта функция при различных значениях ( x ).

Функция ( y = 4x - x^2 ) является квадратичной функцией и может быть переписана в стандартной форме как ( y = -x^2 + 4x ). Это указывает на то, что парабола будет иметь ветви, направленные вниз, поскольку коэффициент при ( x^2 ) отрицательный.

1. Нахождение вершины параболы:

   Формула для нахождения вершины параболы, заданной уравнением вида ( y = ax^2 + bx + c ), имеет вид: [ x = -\frac{b}{2a} ] В нашем случае ( a = -1 ), ( b = 4 ). Подставим эти значения в формулу: [ x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 ]

2. Нахождение значения функции в вершине:

   Подставим ( x = 2 ) в уравнение функции, чтобы найти значение ( y ) в вершине: [ y = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 ]

   Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( (2, 4) ).

3. Анализ области значений:

   Поскольку парабола открыта вниз и вершина является точкой максимума, наибольшее значение функции равно 4. Для нахождения минимального значения заметим, что квадратичная функция определена для всех действительных чисел, и поскольку парабола опускается вниз без ограничения, минимальное значение функции стремится к минус бесконечности.

Таким образом, область значений функции ( y = 4x - x^2 ) можно записать в виде интервала: [ (-\infty, 4] ]

Это означает, что функция может принимать любые значения от минус бесконечности до 4 включительно.

Для того чтобы найти область значений функции y=4x-x², нужно определить, какие значения y могут принимать в зависимости от значения x.

Данная функция представляет собой квадратичную функцию, которая имеет вид параболы, открытой вниз. Так как коэффициент при квадрате x отрицательный, парабола будет направлена вниз.

Для того чтобы найти область значений функции, нужно найти вершину параболы. Вершина параболы имеет координаты (h, k), где h = -b/2a, а k = f(h), где f(x) - данная функция.

В данном случае у нас функция y=4x-x², коэффициент при x равен -1, а коэффициент при x² равен 4. Таким образом, h = -(-1)/(2*4) = 1/8. Подставив значение h обратно в функцию, найдем k: k = 4(1/8) - (1/8)² = 1 - 1/64 = 63/64.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (1/8, 63/64).

Область значений функции y=4x-x² будет зависеть от того, какие значения x мы подставляем. Так как парабола направлена вниз, максимальное значение y будет соответствовать значению функции в вершине параболы (63/64), а минимальное значение y будет стремиться к бесконечности по модулю при стремлении x к плюс или минус бесконечности.

Таким образом, область значений функции y=4x-x² будет отрезком (-∞, 63/64].