Найти общий вид первообразной f(x)=x-2/x^5+cosx ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Для нахождения первообразной данной функции f(x) = (x - 2)/(x^5 + cos(x)) мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Сначала разложим функцию на две: f(x) = g(x)h'(x), где g(x) = x - 2, h'(x) = 1/(x^5 + cos(x)).

Теперь проинтегрируем функцию h'(x) по частям: ∫h'(x)dx = ∫1/(x^5 + cos(x))dx = u, v = arcsin(x), 1/(x^5 + cos(x))dx = uv - ∫vdu = arcsin(x)1/(x^5 + cos(x)) - ∫arcsin(x)*d(1/(x^5 + cos(x)))dx.

Далее проинтегрируем второе слагаемое по частям: ∫arcsin(x)d(1/(x^5 + cos(x)))dx = arcsin(x)/(x^5 + cos(x)) - ∫(1/(√(1 - x^2))(1/(x^5 + cos(x)))dx.

Таким образом, первообразная функции f(x) = (x - 2)/(x^5 + cos(x)) будет равна: F(x) = (x - 2)arcsin(x)/(x^5 + cos(x)) - ∫(1/(√(1 - x^2))(1/(x^5 + cos(x)))dx.

Чтобы найти общий вид первообразной функции ( f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x ), мы должны проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности.

1. Интегрирование ( x ):

   Первообразная функции ( x ) — это ( \frac{x^2}{2} ). Это следует из правила интегрирования степенной функции: (\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C), где ( n \neq -1 ).

2. Интегрирование (-\frac{2}{x^5}):

   Это выражение можно записать как (-2x^{-5}). Применяя правило интегрирования степенной функции, получаем:

   [ \int -2x^{-5} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = \frac{1}{2}x^{-4} = \frac{1}{2x^4} ]

3. Интегрирование (\cos x):

   Первообразная функции (\cos x) — это (\sin x). Это известно из табличных интегралов.

Теперь, объединив все три части, получаем общий вид первообразной для функции ( f(x) ):

[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования, обусловленная неопределённостью интеграла.

Таким образом, общий вид первообразной функции ( f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x ) равен:

[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C ]

Общий вид первообразной данной функции f(x) равен F(x) = -1/4x^4 - sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.