Найти первообразную для функции f(x)= sin(2x + p/3) + cos(3x + p/4) если F(p/12)=1

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(3x + \frac{\pi}{4}) ), мы должны интегрировать её по переменной ( x ).

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл

1. Интегрирование (\sin(2x + \frac{\pi}{3})):

   [ \int \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + C_1 ]

   Здесь мы использовали правило интегрирования (\int \sin(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C).

2. Интегрирование (\cos(3x + \frac{\pi}{4})):

   [ \int \cos(3x + \frac{\pi}{4}) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x + \frac{\pi}{4}) + C_2 ]

   Здесь используется правило (\int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C).

Шаг 2: Общая первообразная

Объединяя результаты, получаем общую первообразную:

[ F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{3} \sin(3x + \frac{\pi}{4}) + C ]

Шаг 3: Найдем константу ( C )

Из условия ( F\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1 ), подставляем ( x = \frac{\pi}{12} ):

[ F\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{3} \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) + C = 1 ]

Теперь упростим:

• ( 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} ), значит ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} ).

• ( 3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} ), значит ( 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} ).

Подставим эти значения в тригонометрические функции:

[ -\frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0 ]

[ \frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} ]

Итак, уравнение становится:

[ 0 + \frac{1}{3} + C = 1 ]

Отсюда ( C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ).

Итог

Первообразная функции ( f(x) ) с учетом данного условия:

[ F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{3} \sin(3x + \frac{\pi}{4}) + \frac{2}{3} ]

Для нахождения первообразной данной функции f(x)= sin(2x + π/3) + cos(3x + π/4), необходимо проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности.

Интеграл sin(2x + π/3) можно найти следующим образом: ∫sin(2x + π/3)dx = -1/2cos(2x + π/3) + C₁,

где С₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Интеграл cos(3x + π/4) можно найти аналогично: ∫cos(3x + π/4)dx = 1/3sin(3x + π/4) + C₂,

где С₂ - также произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная для функции f(x)= sin(2x + π/3) + cos(3x + π/4) имеет вид: F(x) = -1/2cos(2x + π/3) + 1/3sin(3x + π/4) + C,

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Используя условие, что F(π/12) = 1, можно найти значение константы С: -1/2cos(2π/12 + π/3) + 1/3sin(3π/12 + π/4) + C = 1, -1/2cos(π/2) + 1/3sin(π/4) + C = 1, -1/20 + 1/3(√2/2) + C = 1, C = 1 - √2/6.

Таким образом, окончательно первообразная для функции f(x)= sin(2x + π/3) + cos(3x + π/4) с учетом условия F(π/12) = 1: F(x) = -1/2cos(2x + π/3) + 1/3sin(3x + π/4) + 1 - √2/6.