Найти первообразную для следующих функций А) f(x) = √3; Б) f(x) = x^8; В) f(x) = 1/x^5 ; Г) f(x) = 2...

Первообразная функции ( f(x) ) - это функция ( F(x) ), такая что ( F'(x) = f(x) ). Найдем первообразные для каждой из заданных функций.

А) ( f(x) = \sqrt{3} )

[ \int \sqrt{3} \, dx = \sqrt{3} \int 1 \, dx = \sqrt{3} x + C ]

Итак, первообразная для ( f(x) = \sqrt{3} ) равна ( \sqrt{3} x + C ).

Б) ( f(x) = x^8 )

[ \int x^8 \, dx = \frac{x^9}{9} + C ]

Здесь мы использовали формулу интегрирования степенной функции: ( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ).

В) ( f(x) = \frac{1}{x^5} )

[ f(x) = x^{-5} ]

[ \int x^{-5} \, dx = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C ]

Г) ( f(x) = 2 - x^4 + 3x^7 )

[ \int (2 - x^4 + 3x^7) \, dx = \int 2 \, dx - \int x^4 \, dx + \int 3x^7 \, dx ]

[ = 2x - \frac{x^5}{5} + \frac{3x^8}{8} + C ]

Д) ( f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{2}{3} )

Здесь мы используем тот факт, что ( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x ), а первообразная от ( \sec^2 x ) есть ( \tan x ).

[ \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{2}{3} \right) dx = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{2}{3} \, dx ]

[ = \tan x - \frac{2}{3} x + C ]

Е) ( f(x) = (4x - 5)^2 )

Сначала раскроем скобки:

[ (4x - 5)^2 = 16x^2 - 40x + 25 ]

Теперь найдем первообразную:

[ \int (16x^2 - 40x + 25) \, dx = \int 16x^2 \, dx - \int 40x \, dx + \int 25 \, dx ]

[ = \frac{16x^3}{3} - 20x^2 + 25x + C ]

Ж) ( f(x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 6x \right) )

Используем тригонометрическую тождество ( \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta ):

[ f(x) = \cos (6x) ]

Теперь найдем первообразную:

[ \int \cos (6x) \, dx ]

Для этого используем замену ( u = 6x ), тогда ( du = 6dx ) и ( dx = \frac{du}{6} ):

[ \int \cos (6x) \, dx = \int \cos u \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \int \cos u \, du = \frac{1}{6} \sin u + C ]

Возвращаясь к переменной ( x ):

[ \frac{1}{6} \sin (6x) + C ]

Таким образом, мы нашли первообразные для всех заданных функций.

A) √3x + C; B) (1/9)x^9 + C; C) (-1/4)x^-4 + C; D) 2x - (1/3)sinx + C; E) (4x-5)^3/3 + C; F) -(1/6)cos(π/2 - 6x) + C.

А) Для функции f(x) = √3 первообразной будет F(x) = √3x + C, где C - произвольная постоянная.

Б) Для функции f(x) = x^8 первообразной будет F(x) = (1/9)x^9 + C, где C - произвольная постоянная.

В) Для функции f(x) = 1/x^5 первообразной будет F(x) = -1/(4x^4) + C, где C - произвольная постоянная.

Г) Для функции f(x) = 2 - x^4 + 3x^7 первообразной будет F(x) = 2x - (1/5)x^5 + (3/8)x^8 + C, где C - произвольная постоянная.

Д) Для функции f(x) = 1/cos^2x - 2/3 первообразной будет F(x) = tan(x) - (2/3)x + C, где C - произвольная постоянная.

Е) Для функции f(x) = (4x-5)^2 первообразной будет F(x) = (4/3)(4x-5)^3 + C, где C - произвольная постоянная.

Ж) Для функции f(x) = sin(π/2-6x) первообразной будет F(x) = cos(π/2-6x)/6 + C, где C - произвольная постоянная.