Найти площадь фигуры ограниченной пораболой y=x в квадрате+1 и прямой y=x+3

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = x^2 + 1 ) и прямой ( y = x + 3 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения параболы и прямой: Для этого приравняем ( y ) в обоих уравнениях: [ x^2 + 1 = x + 3 ] Перенесём все члены на одну сторону уравнения и приведём его к стандартному виду: [ x^2 - x + 1 - 3 = 0 ] [ x^2 - x - 2 = 0 ]

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы квадратичного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -2 ). Подставим эти значения: [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm 3}{2} ] Таким образом, мы получаем два корня: [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1 ]

2. Определить границы интегрирования: Границы интегрирования будут от ( x = -1 ) до ( x = 2 ).

3. Вычислить площадь между кривыми: Площадь между двумя кривыми определяется интегралом разности их уравнений по найденным границам. В данном случае верхняя кривая — это прямая ( y = x + 3 ), а нижняя кривая — парабола ( y = x^2 + 1 ). Таким образом, интеграл будет выглядеть следующим образом: [ \text{Площадь} = \int{-1}^{2} [(x + 3) - (x^2 + 1)] \, dx ] Упростим подынтегральное выражение: [ \text{Площадь} = \int{-1}^{2} (x + 3 - x^2 - 1) \, dx ] [ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx ]

4. Вычислить интеграл: Интегрируем подынтегральное выражение по ( x ): [ \int (-x^2 + x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x ] Подставим пределы интегрирования ( -1 ) и ( 2 ): [ \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} ] Подставим верхний предел ( x = 2 ): [ \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) = -\frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{10}{3} ] Подставим нижний предел ( x = -1 ): [ \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{4}{2} \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{6}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = \frac{1}{3} + \frac{3}{6} - 2 = \frac{2}{6} - 2 = \frac{2}{6} - 1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} ]

5. Разница интегралов: [ \text{Площадь} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4 ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = x^2 + 1 ) и прямой ( y = x + 3 ), равна 4 единицам площади.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x и прямой y=x+3 в заданной области, необходимо сначала найти точки их пересечения.

Для этого приравняем уравнения параболы и прямой: y = x y = x + 3

Так как y = x, подставляем это выражение во второе уравнение: x = x + 3

Отсюда получаем: 0 = 3

Это уравнение не имеет решения, что означает, что прямая y=x+3 и парабола y=x не пересекаются в данной области.

Следовательно, площадь фигуры ограниченной параболой y=x и прямой y=x+3 в квадрате+1 равна 0.