Найти производную 3^x/cosx

Для того чтобы найти производную функции ( \frac{3^x}{\cos x} ), нужно воспользоваться правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования произведения.

Сначала выразим функцию в виде ( 3^x \cdot \frac{1}{\cos x} ). Теперь продифференцируем каждое слагаемое по отдельности.

Производная от ( 3^x ) равна ( 3^x \ln 3 ).

Производная от ( \frac{1}{\cos x} ) равна ( \frac{\sin x}{\cos^2 x} ).

Теперь умножим первую производную на второе слагаемое и вторую производную на первое слагаемое и сложим результаты. Получим окончательный ответ:

( \frac{3^x}{\cos x} (\ln 3 \cdot \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x}) )

Для нахождения производной функции ( f(x) = \frac{3^x}{\cos x} ) воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций. Если у нас есть функция ( \frac{u(x)}{v(x)} ), то её производная вычисляется по формуле:

[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

В нашем случае ( u(x) = 3^x ) и ( v(x) = \cos x ).

Теперь найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

1. Производная функции ( u(x) = 3^x ): [ u'(x) = 3^x \ln 3 ]

2. Производная функции ( v(x) = \cos x ): [ v'(x) = -\sin x ]

Теперь подставим найденные значения в формулу для производной частного:

[ f'(x) = \frac{(3^x \ln 3) \cos x - 3^x (-\sin x)}{(\cos x)^2} ]

Упростим числитель:

[ f'(x) = \frac{3^x \cos x \ln 3 + 3^x \sin x}{\cos^2 x} ]

Вынесем общий множитель ( 3^x ) в числителе:

[ f'(x) = \frac{3^x (\cos x \ln 3 + \sin x)}{\cos^2 x} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{3^x}{\cos x} ) равна:

[ f'(x) = \frac{3^x (\cos x \ln 3 + \sin x)}{\cos^2 x} ]

Это и есть окончательный ответ.