Найти производную функции y=(x^2-1) (x^4+2) Полное решение!

Чтобы найти производную функции ( y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) ), мы применим правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная их произведения ( y = u(x)v(x) ) равна:

[ y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Здесь ( u(x) = x^2 - 1 ) и ( v(x) = x^4 + 2 ).

Шаг 1: Найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ).

1. Найдем ( u'(x) ). Поскольку ( u(x) = x^2 - 1 ), используем правило дифференцирования степенной функции: [ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x ]

2. Найдем ( v'(x) ). Поскольку ( v(x) = x^4 + 2 ), применим то же правило: [ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + 2) = 4x^3 ]

Шаг 2: Применим правило произведения.

Теперь, подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

[ y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]

Подставим найденные значения:

[ y' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3) ]

Шаг 3: Упростим выражение.

Распределяем множители в каждом из слагаемых:

1. ( (2x)(x^4 + 2) = 2x \cdot x^4 + 2x \cdot 2 = 2x^5 + 4x )

2. ( (x^2 - 1)(4x^3) = x^2 \cdot 4x^3 - 1 \cdot 4x^3 = 4x^5 - 4x^3 )

Теперь сложим оба результата:

[ y' = (2x^5 + 4x) + (4x^5 - 4x^3) ]

Объединим подобные члены:

• ( 2x^5 + 4x^5 = 6x^5 )
• (-4x^3) остаётся без изменений
• ( 4x ) также остаётся без изменений

Таким образом, производная функции:

[ y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x ]

Это и есть итоговый ответ.

Производная функции y=(x^2-1) (x^4+2) равна y' = 2x(x^4+2) + (x^2-1)(4x^3).

Для нахождения производной функции y=(x^2-1) (x^4+2) используем правило дифференцирования произведения функций:

y' = (x^2-1) d/dx(x^4+2) + (x^4+2) d/dx(x^2-1)

Вычислим производные от каждого слагаемого:

d/dx(x^4+2) = 4x^3 d/dx(x^2-1) = 2x

Подставляем полученные производные обратно в формулу:

y' = (x^2-1) 4x^3 + (x^4+2) 2x y' = 4x^5 - 4x^3 + 2x^4 + 4x y' = 4x^5 + 2x^4 - 4x^3 + 4x

Таким образом, производная функции y=(x^2-1) (x^4+2) равна y' = 4x^5 + 2x^4 - 4x^3 + 4x.