Найти производную f(x)=4x*(корень из х)

Чтобы найти производную функции ( f(x) = 4x \sqrt{x} ), следуем следующим шагам:

1. Упростим функцию:

   Функция ( f(x) = 4x \sqrt{x} ) может быть переписана в виде степени. Напомним, что ( \sqrt{x} = x^{1/2} ).

   Таким образом, ( f(x) = 4x \cdot x^{1/2} ).

2. Объединим степени:

   При умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются: [ f(x) = 4x^{1 + 1/2} = 4x^{3/2} ]

3. Применим правило дифференцирования степени:

   Для функции вида ( g(x) = ax^n ), производная ( g'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} ).

   В нашем случае ( a = 4 ) и ( n = \frac{3}{2} ).

4. Найдем производную:

   Применяя правило дифференцирования, получаем: [ f'(x) = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} ]

   Упростим выражение: [ f'(x) = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 6 x^{\frac{1}{2}} ]

5. Запишем окончательный результат:

   Мы знаем, что ( x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} ), поэтому производная функции ( f(x) = 4x \sqrt{x} ) равна: [ f'(x) = 6 \sqrt{x} ]

Итак, производная функции ( f(x) = 4x \sqrt{x} ) равна ( 6 \sqrt{x} ).

Для того чтобы найти производную функции f(x)=4x√x, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Сначала упростим функцию, раскрыв скобки: f(x)=4x√x = 4xx^(1/2) = 4x^(3/2). Теперь применим правило дифференцирования степенной функции, которое гласит, что производная функции x^n равна nx^(n-1). Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = 3/2 4x^(3/2 - 1) = 3/2 4x^(1/2) = 6x^(1/2)

Таким образом, производная функции f(x)=4x*√x равна 6x^(1/2).