Найти производную y=X^4 sinX

Чтобы найти производную функции ( y = x^4 \sin x ), мы воспользуемся правилом произведения, которое гласит, что если ( y = u \cdot v ), где ( u ) и ( v ) — дифференцируемые функции, то производная ( y ) по ( x ) вычисляется по формуле:

[ y' = u'v + uv' ]

В нашем случае:

• ( u = x^4 )
• ( v = \sin x )

Теперь найдем производные ( u' ) и ( v' ).

1. Найдем производную ( u = x^4 ): [ u' = \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3 ]

2. Найдем производную ( v = \sin x ): [ v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]

Теперь подставим ( u ), ( u' ), ( v ) и ( v' ) в формулу для производной ( y ):

[ y' = u'v + uv' = (4x^3)(\sin x) + (x^4)(\cos x) ]

Соберем это в одну формулу:

[ y' = 4x^3 \sin x + x^4 \cos x ]

Таким образом, производная функции ( y = x^4 \sin x ) равна:

[ y' = 4x^3 \sin x + x^4 \cos x ]

Для функции ( y = x^4 \sin x ) мы найдем производную, используя правило произведения. Правило произведения в дифференцировании утверждает, что если функция является произведением двух функций, т.е. ( y = u(x) \cdot v(x) ), то её производная вычисляется как:

[ y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x). ]

В данном случае ( u(x) = x^4 ) и ( v(x) = \sin x ). Теперь по шагам:

1. Найдем производную ( u'(x) ):

[ u(x) = x^4 \implies u'(x) = 4x^3. ]

1. Найдем производную ( v'(x) ):

[ v(x) = \sin x \implies v'(x) = \cos x. ]

1. Подставим в формулу правила произведения:

[ y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x). ]

Подставляя ( u'(x) = 4x^3 ), ( u(x) = x^4 ), ( v(x) = \sin x ), ( v'(x) = \cos x ), получаем:

[ y' = (4x^3) \cdot (\sin x) + (x^4) \cdot (\cos x). ]

1. Запишем окончательно:

[ y' = 4x^3 \sin x + x^4 \cos x. ]

Таким образом, производная функции ( y = x^4 \sin x ) равна:

[ y' = 4x^3 \sin x + x^4 \cos x. ]

Если нужно, можно оставить производную в таком виде, или вынести общий множитель, например ( x^3 ), чтобы упростить выражение:

[ y' = x^3 (4 \sin x + x \cos x). ]