Найти производные функций y=tg3x

Для нахождения производной функции y = tg(3x) мы можем воспользоваться правилом дифференцирования композиции функций.

Обозначим функцию f(x) = tg(x) и g(x) = 3x. Тогда наша исходная функция y = f(g(x)) = tg(3x).

Для нахождения производной этой функции, сначала найдем производные функций f(x) и g(x):

f'(x) = sec^2(x) g'(x) = 3

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования композиции функций:

(dy/dx) = f'(g(x)) g'(x) = sec^2(3x) 3 = 3sec^2(3x)

Таким образом, производная функции y = tg(3x) равна 3sec^2(3x).

Для нахождения производной функции ( y = \tan(3x) ), воспользуемся правилом цепочки и знанием производных элементарных функций.

Правило цепочки гласит, что если функция ( y ) зависит от ( u ), а ( u ) зависит от ( x ), то производная ( y ) по ( x ) вычисляется как произведение производной ( y ) по ( u ) и производной ( u ) по ( x ): [ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ]

В нашем случае:

• ( y = \tan(u) ), где ( u = 3x ).
• Производная тангенса: (\frac{d}{du}(\tan(u)) = \sec^2(u))
• Производная ( u = 3x ): (\frac{du}{dx} = 3)

Теперь применим правило цепочки: [ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\tan(u)) \cdot \frac{du}{dx} ]

Подставим наши функции: [ \frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot 3 ]

Так как ( u = 3x ), то: [ \sec^2(3x) = \frac{1}{\cos^2(3x)} ]

Таким образом, окончательно получаем: [ \frac{dy}{dx} = 3 \sec^2(3x) ]

Итак, производная функции ( y = \tan(3x) ) равна ( 3 \sec^2(3x) ).