Найти против производную функции: 1) e^x*sinx 2)e^3x*cosx 3) 5^x*sinx 4)ln3x 5)1/2ln5x

Для нахождения противопроизводных (или интегралов) данных функций, используем различные методы интегрирования, такие как интегрирование по частям, замена переменных и основные интегральные формулы. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) ( \int e^x \sin x \, dx )

Используем метод интегрирования по частям, который основан на формуле: [ \int u \, dv = uv - \int v \, du ] Выберем ( u = e^x ) и ( dv = \sin x \, dx ). Тогда ( du = e^x \, dx ) и ( v = -\cos x ). Применяем формулу: [ \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x - \int -e^x \cos x \, dx ] Теперь, интегрируем ( \int e^x \cos x \, dx ) аналогично: Выберем ( u = e^x ) и ( dv = \cos x \, dx ). Тогда ( du = e^x \, dx ) и ( v = \sin x ). Получаем: [ \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx ] Подставляем это обратно в исходный интеграл: [ \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx ] Упростим: [ 2 \int e^x \sin x \, dx = e^x (\sin x - \cos x) ] [ \int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C ]

2) ( \int e^{3x} \cos x \, dx )

Также применим метод интегрирования по частям, выбрав ( u = e^{3x} ) и ( dv = \cos x \, dx ). Получим: [ \int e^{3x} \cos x \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{3} \int 3e^{3x} \sin x \, dx ] Интегрируем ( \int e^{3x} \sin x \, dx ) по частям аналогично. В конечном счете получаем: [ \int e^{3x} \cos x \, dx = \frac{e^{3x}}{10} (3 \sin x + \cos x) + C ]

3) ( \int 5^x \sin x \, dx )

Проведем аналогичные шаги интегрирования по частям: [ \int 5^x \sin x \, dx = -5^x \cos x - \int -\cos x \cdot 5^x \log 5 \, dx ] Продолжаем, пока не получим замкнутую форму.

4) ( \int \ln (3x) \, dx )

Применим замену ( u = \ln (3x) ). Тогда ( du = \frac{1}{3x} \cdot 3 \, dx = \frac{dx}{x} ). Получаем: [ \int \ln (3x) \, dx = x \ln (3x) - x + C ]

5) ( \int \frac{1}{2} \ln (5x) \, dx )

Аналогично предыдущему примеру: [ \int \frac{1}{2} \ln (5x) \, dx = \frac{1}{2} (x \ln (5x) - x) + C ]

Это даёт основные шаги для вычисления данных интегралов.

1) Для нахождения производной произведения двух функций необходимо использовать правило производной произведения, которое гласит: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Применяя это правило к функции e^x*sinx, получаем:

(e^xsinx)' = e^xcosx + e^x*sinx

2) Аналогично, для функции e^3x*cosx:

(e^3xcosx)' = 3e^3xcosx - e^3x*sinx

3) Для функции 5^x*sinx:

(5^xsinx)' = 5^xcosxln(5) + 5^xsinx*ln(5)

4) Для функции ln3x:

(ln(3x))' = 1/(3x)*3 = 1/x

5) Для функции 1/2ln5x:

(1/2ln(5x))' = 1/(2x)

Таким образом, мы нашли производные данных функций.

1) e^xcosx 2) 3e^3xsinx - e^3xcosx 3) 5^xcosx + 5^xln5x 4) 1/x 5) 1/(2x) + 1/(2xln5)