Найти синус альфа если косинус альфа равен корню из 3/5

Давайте разберем данный вопрос подробно.

Нам дано, что ( \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{5}} ), и требуется найти ( \sin \alpha ).

Связь между синусом и косинусом

Согласно основному тригонометрическому тождеству: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ]

Подставим значение ( \cos \alpha ) в это уравнение: [ \sin^2 \alpha + \left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 = 1. ]

Вычислим квадрат косинуса: [ \left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 = \frac{3}{5}. ]

Подставим это значение: [ \sin^2 \alpha + \frac{3}{5} = 1. ]

Вычтем ( \frac{3}{5} ) из обеих сторон: [ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{5}. ]

Приведем правую часть к общему знаменателю: [ 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}. ]

Получаем: [ \sin^2 \alpha = \frac{2}{5}. ]

Теперь найдём ( \sin \alpha ), извлекая квадратный корень из обеих сторон: [ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}. ]

Как выбрать знак ( + ) или ( - )?

Это зависит от квадранта (четверти), в котором находится угол ( \alpha ):

• Если ( \alpha ) находится в I или II квадранте, то ( \sin \alpha > 0 ), и выбирается положительный знак.
• Если ( \alpha ) находится в III или IV квадранте, то ( \sin \alpha < 0 ), и выбирается отрицательный знак.

Так как в условии ничего не сказано про знак синуса, результат можно записать как: [ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}. ]

Ответ

[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}, \text{ где знак зависит от положения угла ( \alpha ).} ]

Если известно положение угла, можно уточнить ответ.

Чтобы найти синус угла α, зная косинус этого угла, можно воспользоваться основным тригонометрическим соотношением, которое связывает синус и косинус:

[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 ]

В данном случае у нас есть косинус:

[ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{5} ]

Сначала найдем квадрат косинуса:

[ \cos^2(\alpha) = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 = \frac{3}{25} ]

Теперь подставим это значение в основное тригонометрическое соотношение:

[ \sin^2(\alpha) + \frac{3}{25} = 1 ]

Чтобы найти (\sin^2(\alpha)), вычтем (\frac{3}{25}) из 1:

[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{3}{25} ]

Для удобства приведем 1 к общему знаменателю 25:

[ 1 = \frac{25}{25} ]

Теперь вычтем:

[ \sin^2(\alpha) = \frac{25}{25} - \frac{3}{25} = \frac{22}{25} ]

Теперь, чтобы найти (\sin(\alpha)), возьмем корень из (\sin^2(\alpha)):

[ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{22}{25}} = \frac{\sqrt{22}}{5} ]

Однако, нужно учитывать, что синус может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от квадранта, в котором находится угол α. Если известен диапазон угла α, можно определить знак синуса. Например:

• Если α находится в первом квадранте (0 < α < 90°), то (\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{22}}{5}).
• Если α находится во втором квадранте (90° < α < 180°), то (\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{22}}{5}).
• Если α находится в третьем квадранте (180° < α < 270°), то (\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{22}}{5}).
• Если α находится в четвертом квадранте (270° < α < 360°), то (\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{22}}{5}).

Таким образом, ответ на вопрос:

[ \sin(\alpha) = \pm \frac{\sqrt{22}}{5} ]

в зависимости от квадранта, в котором находится угол α.