Найти стационарные точки y=sin x/2

Чтобы найти стационарные точки функции ( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) ), необходимо определить точки, в которых производная функции равна нулю. Стационарные точки — это точки, в которых график функции имеет горизонтальную касательную, что соответствует экстремумам или точкам перегиба.

Вот пошаговое решение задачи:

1. Найти производную функции:

   Дана функция ( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) ). Чтобы найти её производную, используем правило дифференцирования сложной функции. Производная синуса ( \sin(u) ) по ( u ) равна ( \cos(u) ), и при этом необходимо умножить на производную внутренней функции.

   [ y' = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) ]

2. Найти точки, в которых производная равна нулю:

   Стационарные точки находятся, решая уравнение:

   [ \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 ]

   Отсюда следует:

   [ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 ]

3. Решить уравнение для косинуса:

   Косинус равен нулю в точках (\frac{\pi}{2} + k\pi), где ( k ) — целое число. Следовательно, уравнение:

   [ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi ]

   Умножив обе стороны на 2, получаем:

   [ x = \pi + 2k\pi ]

   Таким образом, стационарные точки функции ( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) ) имеют вид:

   [ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

4. Анализ стационарных точек:

   Чтобы понять природу стационарных точек (максимум, минимум или точка перегиба), можно исследовать вторую производную или проанализировать поведение первой производной вблизи этих точек. Однако, в данном случае, поскольку ( \sin\left(\frac{x}{2}\right) ) — периодическая функция, стационарные точки будут чередующимися максимумами и минимумами, зависящими от периода функции.

Таким образом, функция ( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) ) имеет стационарные точки в ( x = \pi + 2k\pi ), где ( k ) — целое число, и эти точки чередуются как максимумы и минимумы.

Для того чтобы найти стационарные точки функции y = sin(x/2), необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Производная функции sin(x/2) равна (1/2)cos(x/2). Теперь приравняем эту производную к нулю:

(1/2)cos(x/2) = 0

cos(x/2) = 0

Так как косинус равен нулю в точках π/2, 3π/2, 5π/2, и так далее, то стационарные точки функции y = sin(x/2) будут соответствовать значениям x вида x = (2n+1)π, где n - любое целое число.

Таким образом, стационарные точки функции y = sin(x/2) будут иметь вид (2n+1)π, где n - целое число.