Найти точки экстемума функции: у=х/5+5/х

Для нахождения точек экстремума функции y = x/5 + 5/x необходимо найти производную данной функции и приравнять её к нулю.

y' = (1/5 - 5/x^2)

Теперь приравниваем производную к нулю и находим x:

1/5 - 5/x^2 = 0 1/5 = 5/x^2 x^2 = 25 x = ±5

Таким образом, точки экстремума функции y = x/5 + 5/x равны x = 5 и x = -5.

Чтобы определить, являются ли данные точки экстремумами, необходимо проанализировать знаки производной в окрестностях этих точек.

Для того чтобы найти точки экстремума функции ( y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x} ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции: Экстремумы функции находятся в точках, где её производная равна нулю или не существует.

   [ y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x} ]

   Применим правила дифференцирования:

   [ y' = \left( \frac{x}{5} \right)' + \left( \frac{5}{x} \right)' ]

   Производная от (\frac{x}{5}) равна (\frac{1}{5}), а производная от (\frac{5}{x}) равна (-\frac{5}{x^2}). Следовательно:

   [ y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} ]

2. Найти критические точки: Для этого приравняем первую производную к нулю и решим уравнение:

   [ \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} = 0 ]

   Переносим (\frac{5}{x^2}) на правую сторону:

   [ \frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} ]

   Умножаем обе стороны на (5x^2), чтобы избавиться от дробей:

   [ x^2 = 25 ]

   Следовательно:

   [ x = \pm 5 ]

3. Проверить характер критических точек: Для этого найдем вторую производную функции и проверим знак второй производной в найденных точках.

   Первая производная у нас уже известна:

   [ y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} ]

   Найдем вторую производную:

   [ y'' = \left( \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} \right)' ]

   Производная от (\frac{1}{5}) равна нулю, а производная от (-\frac{5}{x^2}) равна (\frac{10}{x^3}). Следовательно:

   [ y'' = \frac{10}{x^3} ]

   Теперь проверим знак второй производной в точках (x = 5) и (x = -5):

   [ y''(5) = \frac{10}{5^3} = \frac{10}{125} = \frac{2}{25} > 0 ]

   [ y''(-5) = \frac{10}{(-5)^3} = \frac{10}{-125} = -\frac{2}{25} < 0 ]

   Если вторая производная положительна ((y'' > 0)), то функция имеет минимум в этой точке. Если вторая производная отрицательна ((y'' < 0)), то функция имеет максимум в этой точке.

   Таким образом:

   • В точке (x = 5) функция имеет локальный минимум.
   • В точке (x = -5) функция имеет локальный максимум.

Итак, точки экстремума функции ( y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x} ) — это ( x = 5 ) (локальный минимум) и ( x = -5 ) (локальный максимум).

Для нахождения точек экстремума функции y = x/5 + 5/x необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение.