Написать арифметическую прогрессию первый член который равен 1 причем сумма первых пяти членов равна...

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Условие задачи:

1. Первый член арифметической прогрессии ( a_1 = 1 ).
2. Сумма первых пяти членов прогрессии равна ( \frac{1}{4} ) суммы следующих пяти членов.

Нужно найти арифметическую прогрессию, удовлетворяющую этим условиям.

1. Формула суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии

Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии выражается формулой: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d), ] где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( d ) — разность прогрессии, ( n ) — количество членов.

2. Сумма первых 5 членов прогрессии

Подставляем ( n = 5 ) и ( a_1 = 1 ) в формулу: [ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 1 + (5-1)d) = \frac{5}{2} \cdot (2 + 4d) = \frac{5}{2} \cdot (4d + 2) = 5d + 5. ] Таким образом, сумма первых пяти членов: [ S_5 = 5d + 5. ]

3. Сумма следующих 5 членов прогрессии

Следующие пять членов прогрессии начинаются с ( a_6 = a1 + 5d ). Сумма ( S{6-10} ) определяется по той же формуле ( Sn ), но с учетом, что это следующая группа из 5 членов: [ S{6-10} = \frac{5}{2} \cdot (2a_6 + (5-1)d), ] где ( a_6 = a_1 + 5d = 1 + 5d ).

Подставляем ( a6 ): [ S{6-10} = \frac{5}{2} \cdot (2(1 + 5d) + 4d) = \frac{5}{2} \cdot (2 + 10d + 4d) = \frac{5}{2} \cdot (2 + 14d) = 5d + 35. ]

4. Условие задачи

По условию, сумма первых пяти членов равна четверти суммы следующих пяти членов: [ S5 = \frac{1}{4} S{6-10}. ] Подставляем найденные выражения для ( S5 ) и ( S{6-10} ): [ 5d + 5 = \frac{1}{4} (35 + 35d). ] Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей: [ 4(5d + 5) = 35 + 35d. ] Раскрываем скобки: [ 20d + 20 = 35 + 35d. ] Переносим все слагаемые с ( d ) в одну сторону, а числа — в другую: [ 20 - 35 = 35d - 20d. ] [ -15 = 15d. ] Делим обе части на 15: [ d = -1. ]

5. Итог: арифметическая прогрессия

Теперь мы знаем, что разность прогрессии ( d = -1 ), а первый член ( a_1 = 1 ). Таким образом, члены прогрессии: [ a_1 = 1, \, a_2 = a_1 + d = 0, \, a_3 = a_2 + d = -1, \, a_4 = a_3 + d = -2, \, a_5 = a_4 + d = -3, \, \dots ]

Прогрессия: [ 1, 0, -1, -2, -3, \dots ]

6. Проверка условия

Сумма первых пяти членов: [ S_5 = 1 + 0 - 1 - 2 - 3 = -5. ]

Сумма следующих пяти членов: [ S_{6-10} = (-4) + (-5) + (-6) + (-7) + (-8) = -30. ]

Проверим условие: [ S5 = \frac{1}{4} S{6-10}. ] [ -5 = \frac{1}{4} \cdot (-30). ] Условие выполняется.

Ответ:

Арифметическая прогрессия: [ 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, \dots ]

Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a = 1 ), а разность прогрессии — ( d ). Сумма первых пяти членов прогрессии ( S_5 ) равна:

[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a + 4d) = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 1 + 4d) = 5 + 10d ]

Сумма следующих пяти членов ( S_{10} - S5 ), где ( S{10} ) — сумма первых десяти членов:

[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2a + 9d) = 5 \cdot (2 \cdot 1 + 9d) = 10 + 45d ]

Тогда сумма следующих пяти членов:

[ S_{10} - S_5 = (10 + 45d) - (5 + 10d) = 5 + 35d ]

По условию задачи:

[ S5 = \frac{1}{4} \cdot (S{10} - S_5) ]

Подставим значения:

[ 5 + 10d = \frac{1}{4} \cdot (5 + 35d) ]

Умножим обе стороны на 4:

[ 4(5 + 10d) = 5 + 35d ] [ 20 + 40d = 5 + 35d ]

Переносим все слагаемые в одну сторону:

[ 20 - 5 = 35d - 40d ] [ 15 = -5d ] [ d = -3 ]

Таким образом, арифметическая прогрессия будет: ( 1, -2, -5, -8, -11, \ldots )

Для нахождения арифметической прогрессии, где первый член равен 1, и сумма первых пяти членов равна 1/4 суммы следующих пяти членов, начнем с обозначения:

Пусть первый член прогрессии ( a_1 = 1 ), а разность прогрессии обозначим как ( d ).

Первые пять членов арифметической прогрессии будут:

1. ( a_1 = 1 )
2. ( a_2 = 1 + d )
3. ( a_3 = 1 + 2d )
4. ( a_4 = 1 + 3d )
5. ( a_5 = 1 + 4d )

Сумма первых пяти членов прогрессии ( S_5 ) равна: [ S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 1 + (1 + d) + (1 + 2d) + (1 + 3d) + (1 + 4d) ] [ S_5 = 5 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4)d = 5 + 10d ]

Следующие пять членов прогрессии будут:

1. ( a_6 = 1 + 5d )
2. ( a_7 = 1 + 6d )
3. ( a_8 = 1 + 7d )
4. ( a_9 = 1 + 8d )
5. ( a_{10} = 1 + 9d )

Сумма следующих пяти членов ( S{10} ) равна: [ S{10} = a_6 + a_7 + a_8 + a9 + a{10} = (1 + 5d) + (1 + 6d) + (1 + 7d) + (1 + 8d) + (1 + 9d) ] [ S_{10} = 5 + (5 + 6 + 7 + 8 + 9)d = 5 + 35d ]

Согласно условию задачи, сумма первых пяти членов равна 1/4 суммы следующих пяти членов: [ S5 = \frac{1}{4} S{10} ] Подставим найденные суммы: [ 5 + 10d = \frac{1}{4} (5 + 35d) ] Умножим обе стороны уравнения на 4 для избавления от дроби: [ 4(5 + 10d) = 5 + 35d ] [ 20 + 40d = 5 + 35d ] Теперь перенесем все члены с ( d ) в одну сторону, а числовые в другую: [ 40d - 35d = 5 - 20 ] [ 5d = -15 ] [ d = -3 ]

Теперь мы можем записать члены арифметической прогрессии:

1. ( a_1 = 1 )
2. ( a_2 = 1 - 3 = -2 )
3. ( a_3 = 1 - 6 = -5 )
4. ( a_4 = 1 - 9 = -8 )
5. ( a_5 = 1 - 12 = -11 )

Следующие пять членов будут:

1. ( a_6 = 1 - 15 = -14 )
2. ( a_7 = 1 - 18 = -17 )
3. ( a_8 = 1 - 21 = -20 )
4. ( a_9 = 1 - 24 = -23 )
5. ( a_{10} = 1 - 27 = -26 )

Таким образом, арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью -3 выглядит следующим образом: 1, -2, -5, -8, -11, -14, -17, -20, -23, -26.

Сумма первых пяти членов: [ 1 + (-2) + (-5) + (-8) + (-11) = 1 - 2 - 5 - 8 - 11 = -25 ]

Сумма следующих пяти членов: [ -14 + (-17) + (-20) + (-23) + (-26) = -14 - 17 - 20 - 23 - 26 = -100 ]

Проверим условие: [ \frac{1}{4} S_{10} = \frac{1}{4} \cdot (-100) = -25 ] Условие выполняется, так как сумма первых пяти членов действительно равна 1/4 суммы следующих пяти.

Итак, искомая арифметическая прогрессия: 1, -2, -5, -8, -11, -14, -17, -20, -23, -26.