Напишите промежутки возрастания и убывания функции y=-3x^2

Рассмотрим функцию ( y = -3x^2 ). Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, нужно выполнить несколько шагов, анализируя производную функции. Распишем это подробно:

1. Найдём производную функции

Производная функции показывает скорость изменения функции ( y ) в зависимости от переменной ( x ). Найдём производную функции ( y = -3x^2 ):

[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x ]

2. Найдём критические точки

Критические точки функции — это значения ( x ), где производная ( y' ) равна нулю или не существует. В данном случае ( y' = -6x ), и она определена для всех ( x ). Приравняем производную к нулю:

[ -6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ]

Итак, критическая точка — это ( x = 0 ).

3. Определим знаки производной на промежутках

Разделим область определения функции на промежутки, используя критическую точку ( x = 0 ). То есть, у нас будут два промежутка: ( x < 0 ) и ( x > 0 ).

Теперь определим знак производной ( y' = -6x ) на каждом из этих промежутков:

• Если ( x < 0 ), то ( -6x > 0 ), значит, ( y' > 0 ) (производная положительна).
• Если ( x > 0 ), то ( -6x < 0 ), значит, ( y' < 0 ) (производная отрицательна).

4. Определим поведение функции

• На промежутке ( x < 0 ) (где ( y' > 0 )), функция возрастает.
• На промежутке ( x > 0 ) (где ( y' < 0 )), функция убывает.

5. Ответ

Функция ( y = -3x^2 ) имеет следующий характер:

• Возрастает на промежутке ( (-\infty; 0) ).
• Убывает на промежутке ( (0; +\infty) ).

6. Дополнительный графический анализ

Функция ( y = -3x^2 ) — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный). Вершина параболы находится в точке ( x = 0 ), а значение функции в этой точке ( y = 0 ). Это максимум функции. На промежутке ( x < 0 ) функция поднимается к вершине, а на ( x > 0 ) — убывает.

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции ( y = -3x^2 ), начнем с анализа ее производной.

1. Найдем производную функции:

   Функция имеет вид ( y = -3x^2 ). Найдем ее производную: [ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x. ]

2. Определим критические точки:

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае: [ -6x = 0 \implies x = 0. ]

3. Анализ знака производной:

   Теперь нам нужно определить знак производной на интервалах, которые разбиваются критической точкой ( x = 0 ). Мы рассмотрим два интервала:

   • ( (-\infty, 0) )

   • ( (0, \infty) )

   • Для интервала ( (-\infty, 0) ) выберем точку, например, ( x = -1 ): [ y'(-1) = -6(-1) = 6 > 0. ] Это означает, что функция возрастает на интервале ( (-\infty, 0) ).

   • Для интервала ( (0, \infty) ) выберем точку, например, ( x = 1 ): [ y'(1) = -6(1) = -6 < 0. ] Это означает, что функция убывает на интервале ( (0, \infty) ).

4. Вывод:

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы о промежутках возрастания и убывания функции ( y = -3x^2 ):

• Функция возрастает на интервале ( (-\infty, 0) ).
• Функция убывает на интервале ( (0, \infty) ).

Также стоит отметить, что в точке ( x = 0 ) достигается максимальное значение функции, так как это вершина параболы, открытой вниз.