Напишите разложение степени бинома (3x^2 + 1/x)^6.

Для разложения степени бинома (3x^2 + 1/x)^6 можно воспользоваться формулой бинома Ньютона. В данном случае биномиальный коэффициент будет равен 6, так как степень бинома равна 6.

Разложение будет выглядеть следующим образом: (3x^2)^6 + 6(3x^2)^5 (1/x) + 15(3x^2)^4 (1/x)^2 + 20(3x^2)^3 (1/x)^3 + 15(3x^2)^2 (1/x)^4 + 6(3x^2) (1/x)^5 + (1/x)^6

Упростим каждое слагаемое:

1. (3x^2)^6 = 729x^12
2. 6(3x^2)^5 (1/x) = 6*243x^10 = 1458x^10
3. 15(3x^2)^4 (1/x)^2 = 15*81x^8 = 1215x^8
4. 20(3x^2)^3 (1/x)^3 = 20*27x^6 = 540x^6
5. 15(3x^2)^2 (1/x)^4 = 15*9x^4 = 135x^4
6. 6(3x^2) (1/x)^5 = 6*3x^2 = 18x^2
7. (1/x)^6 = 1

Таким образом, разложение степени бинома (3x^2 + 1/x)^6 равно: 729x^12 + 1458x^10 + 1215x^8 + 540x^6 + 135x^4 + 18x^2 + 1

Для разложения степени бинома ((3x^2 + \frac{1}{x})^6) воспользуемся формулой бинома Ньютона:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]

Здесь (a = 3x^2), (b = \frac{1}{x}), и (n = 6). Разложим наш биномиальный выражение по этой формуле:

[ (3x^2 + \frac{1}{x})^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} (3x^2)^{6-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k ]

Теперь вычислим каждый элемент суммы:

1. Коэффициент бинома (\binom{6}{k}):

[ \binom{6}{k} = \frac{6!}{k!(6-k)!} ]

1. Степени ( (3x^2)^{6-k} ) и ( \left(\frac{1}{x}\right)^k ):

[ (3x^2)^{6-k} = 3^{6-k} (x^2)^{6-k} = 3^{6-k} x^{2(6-k)} ]

[ \left(\frac{1}{x}\right)^k = x^{-k} ]

1. Объединение степеней ( x ):

[ x^{2(6-k)} \cdot x^{-k} = x^{12-2k} \cdot x^{-k} = x^{12-3k} ]

Теперь соберем все вместе:

[ (3x^2 + \frac{1}{x})^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} 3^{6-k} x^{12-3k} ]

Рассчитаем каждый член суммы по отдельности:

• Для (k = 0):

[ \binom{6}{0} 3^{6} x^{12} = 1 \cdot 729 \cdot x^{12} = 729x^{12} ]

• Для (k = 1):

[ \binom{6}{1} 3^{5} x^{9} = 6 \cdot 243 \cdot x^{9} = 1458x^{9} ]

• Для (k = 2):

[ \binom{6}{2} 3^{4} x^{6} = 15 \cdot 81 \cdot x^{6} = 1215x^{6} ]

• Для (k = 3):

[ \binom{6}{3} 3^{3} x^{3} = 20 \cdot 27 \cdot x^{3} = 540x^{3} ]

• Для (k = 4):

[ \binom{6}{4} 3^{2} x^{0} = 15 \cdot 9 \cdot x^{0} = 135 ]

• Для (k = 5):

[ \binom{6}{5} 3^{1} x^{-3} = 6 \cdot 3 \cdot x^{-3} = 18x^{-3} ]

• Для (k = 6):

[ \binom{6}{6} 3^{0} x^{-6} = 1 \cdot 1 \cdot x^{-6} = x^{-6} ]

Теперь соберем все члены вместе:

[ (3x^2 + \frac{1}{x})^6 = 729x^{12} + 1458x^{9} + 1215x^{6} + 540x^{3} + 135 + 18x^{-3} + x^{-6} ]

Таким образом, разложение степени бинома ((3x^2 + \frac{1}{x})^6) выглядит следующим образом:

[ (3x^2 + \frac{1}{x})^6 = 729x^{12} + 1458x^{9} + 1215x^{6} + 540x^{3} + 135 + 18x^{-3} + x^{-6} ]